Эти слова синонимичны в значении 'заботливо, внимательно, аккуратно,  тактично', ср. возможные варианты: он бережно накрыл ее одеялом и он осторожно накрыл ее одеялом; бережно обращаться со старинной вазой и осторожно обращаться со старинной вазой. Однако слово осторожно имеет также значение 'очень осмотрительно в своих действиях, поступках; сдержанно, слабо, нерезко', например: он осторожно заглянул в окно (нельзя сказать: он бережно заглянул в окно), а кроме того, употребляется как возглас предупреждения, предостережения: осторожно, машина! осторожно, окрашено!

Написание следующего за обращением, выделяемым восклицательным знаком, слова со строчной буквы в данном случае не ошибка, а характерная особенность письменной речи XVIII-XIX вв. («Остров Борнгольм» написан Н. М. Карамзиным в 1793 году). По современным правилам пунктуации здесь, конечно, должна быть прописная буква, с этим никто не спорит. Однако в текстах русских писателей-классиков продолжение предложения со строчной буквы после восклицательного знака – не редкость. В оригинальном тексте: «Друзья!  прошло  красное лето, златая осень  побледнела...»

Нормативных рекомендаций о склонении названия государства Бруней-Даруссалам, к сожалению, нет. Бытует три варианта — со склонением только первой части (по модели «название + несклоняемое приложение»), только второй части (как Дон Кихот) и обеих частей (как составного названия или названия со склоняемым приложением). Для определения частотности вариантов и других факторов, определяющих выбор грамматической нормы, необходимо значительное время. В такой сложной ситуации лучшим выходом было бы использовать краткую форму названия Бруней. Она хорошо известна, активно используется в СМИ, в публикациях Министерства иностранных дел.  

Названия лекарств и медицинских препаратов оформляются на письме так: при употреблении в качестве торговой марки названия лекарственных средств следует писать с прописной буквы в кавычках: «Агри», «Инфлювак», «Афлубин», «Фервекс»,  а в бытовом употреблении – со строчной буквы без кавычек, например: выпить фервекс, принять виагру. Также пишутся со строчной буквы без кавычек некоторые названия лекарств, вошедшие в широкий обиход вследствие многолетнего употребления (валидол, анальгин, аспирин).

В приведенном Вами примере предпочтительно писать с прописной в кавычках (всё-таки это не ситуация бытового употребления).

Спасибо за интересный вопрос. Это отличная тема для серьезного филологического исследования. Мы можем предположить, что описанная Вами "нелюбовь" к слову брусчатый связана с его многозначностью. Ведь это прилагательное соотносится по значению не только со словом брус, но и со словами брусок (в строительстве брус и брусок различаются сечением) и брусчатка (например, в сочетании брусчатая мостовая).

С другой стороны, использование слова брусчатый (дом) оправдано аналогией с сочетанием бревенчатый дом, так что с точки зрения словообразования логика в этом прилагательном есть.

1. Пунктуация верна. Оборот в соответствии с п.1.3 Постановления Правительства РФ от 3 ноября 1994 г. N 1233 «Об утверждении положения о порядке обращения со служебной информацией ограниченного распространения в федеральных органах исполнительной власти и уполномоченном органе управления использованием атомной энергии» можно выделить запятыми. Объяснение Вы найдете в "Справочнике по пунктуации".

2. Если слово так употребляется в значении "таким способом, такими словами", то пунктуация верна. Если так – вводное слово со значением "например", то после него ставится запятая.

В орфографии, которой свойственен более этимологичный подход к членению слова на морфемы, в глаголе озарить выделяется корень -зар- (см., например, данные ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря»). Это оправдано историческими связями глагола со словами заря, зарево, зарница, которые еще ощущаются носителями языка. В морфемике в глаголе озарять может выделяться и корень озар-, так как в современном русском языке он уже не имеет словообразовательных связей со словами с корнем -зар- (см., например, «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова).

Слово неукоснительный не является родственным со словамами, которые имеют чередующиеся корни -кас-/-кос- (касаться, коснуться и т. п.). Правило выбора гласной буквы в корнях -кас-/-кос- на это слово не распространяется.

Этимологический корень в слове неукоснительно ― косн- (от късьнъ со значением ‘медленный’ ― перевод на церковнославянский греческого слова βραδύς), однако семантическая связь с этим корнем утеряна. Современные словообразовательные словари рассматривают слово неукоснительный как непроизводное, с корнем неукоснительн-. Производные родственные слова: неукоснительно и неукоснительность.

Простого ответа на этот вопрос нет. Слово половина относится к группе существительных с количественным значением — наряду со словами ряд, часть, множество. На выбор формы сказуемого при таких словах влияют разные факторы, основные из которых перечислены в нашем «Письмовнике». Специальные исследования показывают, что в подобных случаях слово половина по своим синтаксическим свойствам близко предметным существительным, а потому сочетается, как правило, со сказуемым в единственном числе. Очевидно, эта форма предпочтительна (но не единственно возможна) и в Вашем примере: Половина дверей открыта настежь.