Вы правильно расставили знаки препинания в предложении.

В таких двухкомпонентных предложениях с пропущенным сказуемым, обычно выступающих в качестве заголовков, слоганов и т. д., ставится тире. Восклицательный знак однозначно указывает на то, что перед нами законченное предложение, а не просто сочетание слов, поэтому тире необходимо.

Поскольку глагол засияет вполне достаточен по смыслу и без сравнительного оборота, запятую нужно поставить: С нами ваш автомобиль засияет, как новенький. Но: С нами ваш автомобиль будет как новенький (сравнительный оборот входит в состав сказуемого, запятая не ставится).

Поскольку отрицание относится к вспомогательному (модальному) глаголу, а не к инфинитиву, от которого зависит существительное, это существительное ставится в форму винительного падежа: Он не успел установить контакт с (кем-то).

Качественные прилагательные теплый и уютный характеризуют предмет с одной стороны, запятая между ними нужна. Что касается прилагательных стильный и дизайнерский, то первое из них качественное, второе относительное (интерьер может быть более или менее стильным, но не более или менее дизайнерским), то есть они относятся к разным разрядам, а следовательно, неоднородны, в общем случае запятая между ними не нужна: стильный дизайнерский интерьер. Запятая может быть поставлена, если автор хочет установить причинно-следственные отношения между определениями: стильный, дизайнерский интерьер (= «стильный, потому что дизайнерский»).

Да, запятая нужна.

Запятая не нужна, поскольку оборот с как является сказуемым: Послевкусие как после хорошего вечера с друзьями за пирогом и чаем.

В начале предложения или заголовка Федеральное автономное учреждение пишется с прописной буквы, в середине предложения корректно писать строчными: федеральное автономное учреждение.

Корректно: сталинский «большой стиль». См. также ответ на вопрос № 326843.

Запятая нужна: Основная часть точно будет на русском, но, думаю, с иностранными тоже буду экспериментировать.