Это неофициальные названия, они пишутся со строчной буквы: парк Горького, сад имени Баумана. См. фиксацию в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2023).
Если это фамилия славянского происхождения, то ее женский вариант — Куцына (ср. Куницын — Куницына). Однако возможен и случай, когда подобных фамилиях невозможно выделить суффикс -ын, и тогда они не изменяются: Иван Куцын и Марья Куцын.
В профессиональной речи слово произносится с ударением на первом слоге: со́довщик.
Правильно: чирлидинг. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Варианты в цехе и в цеху равноправны, если слово цех употребляется в значении 'отдел промышленного предприятия'. В значении 'средневековая организация ремесленников' правильно только: в цехе.
Следует писать через дефис: BB-крем.
Оба сочетания возможны. Слово потрусить в значении 'потрясти, встряхнуть несколько раз, очищая что-либо или освобождая от чего-либо' является разговорным.
Правильно: города Ивантеевки. См. «Горячие вопросы».
