По правилам наречие «препятствует» постановке тире. В справочнике под ред. В. В. Лопатина указывается, что не ставится тире, если между подлежащим и сказуемым-существительным стоит обстоятельство. Наречия в предложении часто являются именно обстоятельствами.

Чтобы ответить на Ваш второй вопрос нужно проводить исследование — нужно понять, какие именно обстоятельства и дополнения встречаются в предложениях данной структуры, в каких случаях тире оправданно, в каких нет. Это требует времени. Пока мы можем ориентироваться только на примеры из справочников: Мой отец для меня друг и наставник; Степан нам сосед.

Ответить на вопрос «Почему правильно именно так?» иногда гораздо сложнее, чем на вопрос «Как правильно?». Фамилия австрийского математика и физика Кристиана Доплера пишется по-русски с одной буквой п, скорее всего, по традиции. Если бы эта фамилия транслитерировалась в наши дни, она сохранила бы две буквы п: по правилам передачи немецких имен собственных графическое удвоение согласных передается удвоением русских согласных. Но эта фамилия стала известна на русском языке в XIX веке, тогда еще не было распространенной в наши дни тенденции сохранять написание первоисточника.

Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.

В решебнике написано верно. Количественно-именные словосочетания (много снега, множество решений, пять книг, тьма проблем и т. п.) всегда являются одним членом предложения. Существительное множество изменяется по числам (формы мн. ч.: множества, множеств, множествам и т. д.). В приведенном предложении оно использовано в форме ед. ч. И. п., поэтому согласование с ним глагола в форме ед. ч. абсолютно правомерно. Сказуемое согласует свою форму с главным компонентом словосочетания, являющегося подлежащим.

Контекст странен. Наречие свысока пишется слитно, но значение наречия – 'надменно, высокомерно, с презрением'. Здесь же, очевидно, имеется в виду «с высоты, с вышины». Но в отличие, например, от слова далеко, которое может употребляться  в значении существительного (Русь! вижу тебя, из моего чудного, прекрасного далека тебя вижу), высоко выступает только в роли наречия или предикатива. Поэтому ответить на Ваш вопрос можно следующим образом: если надо как-то записать эту конструкцию, то так: с высока, но конструкция сама по себе неправильна, следовало бы сказать по-другому (с высоты, с вышины).

Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.

Сказуемое здесь — остаются при своем мнении. Грамматически это составное именное сказуемое, в котором остаются — полузнаменательная связка, а именная часть выражена устойчивым словосочетанием при своем мнении. Действительно, оставаться при своем мнении считается фразеологизмом: так, в пособии "Словарь русской фразеологии. Историко-этимологический справочник" (авторы А. К. Бирих, В. М. Мокиенко, Л. И. Степанова; СПб., 1998) читаем:

«МНЕНИЕ. Оставаться при своем мнении. Не изменять своего мнения. Калька с лат. in sententia manere. Выражение восходит к словам <...> Цицерона».

Форма мн. ч. слова лук ограничена в употреблении. Действительно, это луки, луков, лукам и т. д. Однако обычно эта форма заменяется словосочетаниями, в которых первое слово стоит во мн. ч., а слово лук используется в ед. ч. (сорта лука, виды лука и т. д.).

Сформулируйте, пожалуйста, конкретные вопросы о разнобое в написании: кавычки, пробелы, прописные и строчные буквы... Попробуем разобраться.

Отечество наше свободное – это обращение. Запятые ставятся по правилу обособления обращений.

В значении 'очень много, бесчисленное множество' употребляется сочетание видимо-невидимо. В заголовке лучше поставить тире: Видео – невидимо.