Сочетание гармоничная мелодия корректно. Оно зафиксировано в Словаре паронимов современного русского языка Бельчикова Ю. А. и Панюшевой М. С. (М., 1994).
По-русски английское travel корректно передавать как тревел. «Русский орфографический словарь» РАН (4-е изд., М., 2012) фиксирует такие написания, как тревеллинг, тревел-чек.
Порядковые числительные можно записывать словами (в третьем туре) и словесно-цифровым способом (в 3-м туре). О наращениях падежных окончаний см. в «Письмовнике».
Словарная фиксация: Римский форум. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Орфографически верно: арт-дирекшен. Ср.: арт-промоушен (это слово зафиксировано в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой).
Словарная фиксация: апатитонефелиновый. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 5-е изд., испр. – М., 2018.
Нет, это корректное сочетание, оно зафиксировано словарями русского языка (см., например: Большой академический словарь русского языка. Т. 7. М., СПб., 2007).
В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова слово тойота зафиксировано как существительное женского рода (см. словарную фиксацию).
Перечисленные Вами слова пишутся через дефис по разным правилам. Эти правила Вы можете прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Правил орфографического "освоения" заимствованных слов не существует. Ответ на Ваш вопрос может дать только орфографический словарь. Ждем, когда появится словарная фиксация.
