В толковых словарях сообщается, что слово салют в одном из его значений синонимично слову фейерверк.

Научным термином сексуализированный пользуются специалисты в области психологии, психиатрии, историки и искусствоведы. Если обратиться к монографиям врача-психиатра А. Б. Залкинда, то можно убедиться в том, что термин стал появляться в работах ученых по крайней мере сто лет назад. Это прилагательное сочетается с существительными, имеющими различные значения.

Наименование департамента, в котором использован предлог по, встречается еще в девятнадцатом веке; ср. департамент по ученой части. Современные названия, созданные на основе модели с предлогом по, объединяют самые разные департаменты: по работе, по развитию, по вопросам, по защите, по недропользованию, по транспорту и другие. Вывод: наименования департаментов неоднотипны с грамматической точки зрения. 

Нет, длительно не является наречием меры и степени — оно обозначает продолжительность действия и в предложении является обстоятельством времени. Поэтому верно раздельное написание: Это состояние может развиться у людей преклонного возраста с длительно не леченным гипотериозом. Обратите внимание: в слове ле́ченный ударение падает на первый слог и не пишется буква ё. 

Употребление множественного числа при составном числительном, оканчивающемся на один, возможно. Пример с придаточным определительным предложением при таком числительном есть в правилах согласования подлежащего и сказуемого в справочниках Д. Э. Розенталя. 

«При составных числительных, оканчивающихся на один, сказуемое, как правило, ставится в форме единственного числа, например: Двадцать один делегат прибыл на совещание; ...было подано сразу тридцать одно заявление (Шолохов). Форма множественного числа данной конструкции может быть обусловлена контекстом, например: Двадцать один делегат встретились за круглым столом (сказуемое-глагол встретились указывает на взаимное действие, которое выражается формой множественного числа); Двадцать один ящик с посудой, которые были доставлены на базу, попали туда по ошибке (влияние придаточного предложения с союзным словом которые в форме множественного числа); За все уплачено 231 рубль (при формальной роли подлежащего счетный оборот имеет значение обстоятельства меры в страдательной конструкции); Двадцать один студент не явились на экзамен (эмоционально окрашенный разговорный вариант, подчеркивающий количество отсутствовавших)».

Однако лучше предложение перестроить, чтобы избежать грамматической неловкости.

Слова инфекция и инфицировать пришли в русский язык в разное время и разными путями. Инфекция заимствовано во второй половине XIX в. из ученой латыни, где infectio — суф. производное от inficere «заражать». Инфекция буквально — «зараза». Глагол инфицировать пришел к нам через немецкий язык, буква «и» здесь соответствует немецкому: infizieren.