Да, это название зафиксировано в словарях как склоняемое (см., например, словарь-справочник Е. А. Левашова «Географические названия», словарь Ф. Л. Агеенко «Собственные имена в русском языке», «Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка и др. издания).

Форма простой сравнительной степени тоньше образована от формы положительной степени тонк-ий, которая имеет основу, оканчивающуюся на заднеязычный согласный.

Прилагательные с основой на заднеязычные (к, г, х) и некоторые прилагательные с основой на согласные т, д или группы согласных ст, ск, зк образуют формы простой сравнительной степени с помощью суффикса -е: тонк-ий → тоньш-е, туг-ой → туж-е, сух-ой → суш-е, богат-ый → богач-е, молод-ой → молож-е, прост-ой → прощ-е, плоск-ий → площ-е, узкий → уж-е и т. п. При формообразовании происходит чередование заднеязычных, звуков т, д и групп согласных ст, ск, зк с шипящими.

Состав формы сравнительной степени тоньше: тоньш- ― корень, -е ― формообразующий суффикс.

У этого наименования склоняется первая часть: Тимора-Лешти,Тимору-Лешти...

В приведенном вами предложении запятые между союзами «или» расставлены корректно. 

Фамилию можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Озимка, Озимку и т. д.) и с сохранением гласного (Озимока, Озимоку и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии, но предпочтителен второй вариант (с сохранением гласного), так как в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии.

Мужская фамилия Барабаш склоняется, женская — нет.

Из фамилий, оканчивающихся на -а, -я, которому предшествует согласный, не склоняются только фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге (Дюма́, Гавальда́, Золя́). Преимущественно не склоняются финские имена и фамилии, оканчивающиеся на -а неударное (хотя в ряде источников и их рекомендуется склонять). Фамилия Тихня к этим группам несклоняемых фамилий не относится и должна склоняться.