Форма дверьми не является разговорной: дверьми и дверями равноправны. Форма зверьми находится за пределами современной нормы, правильно только зверями. Формы лошадьми и лошадями соответствуют норме, некоторые нормативные руководства форму лошадьми называют предпочтительной. Равноправными нормативными вариантами являются формы дочерьми и дочерями. Только окончание -ми соответствует норме в формах детьми и людьми. Творительный падеж на -ми встречается во фразеологических оборотах лечь костьми и бить плетьми.

В словарях такое значение не отмечено. Понятно, что оно вытекает из основного: если что-то раздражает, то и не нравится (вряд ли может раздражать то, что нравится). Но при этом компонент значения 'раздражать, приводить в нервное состояние' обязателен, нельзя утверждать, что нервирует – это просто 'не нравится'.

Напомним правило:

Обороты с производными предлогами и предложными сочетаниями обязательно обособляются, если они располагаются между подлежащим и сказуемым: разрыв их непосредственной связи и способствует выделению оборотов.

А теперь, собственно, к проблеме: считать ли слова "с помощью" и "при наличии" производными предлогами? В словарях эти сочетания обозначаются как выступающие "в значении предлога", но не как собственно прелоги. В чем различие? В том, что в русском языке возможны полноценные словосочетания помощь друзей и наличие друзей, в которых слова помощь и наличие - главные компоненты; настоящие производные предлоги таких сочетаний обычно не образуют. Сравните: благодаря, вопреки, ввиду, в целях, в связи с, во избежание, вследствие, по случаю, по причине, при наличии, согласно с, в отличие от, в противоположность, наподобие, при условии, в силу, за отсутствием, несмотря на, невзирая на, спустя, независимо от... (Согласны, в некоторых случаях образовать словосочетание получится, но это уже вопрос, скорее, к формулировке правила.)

Таким образом, на наш взгляд, в приведенных Вами двух последних примерах постановка запятой обязательной не является.

Не с существительными пишется слитно, если нет противопоставления (в случае непредоставления услуги...). Если противопоставление есть (это не предоставление услуги, а ...), следует писать раздельно.

Не с глаголами пишется раздельно: не реорганизовывалось.

Нет, не является.

См. здесь.

Нормативно: день рождения. В разговорной речи возможно: день рожденья (тот самый, который "только раз в году").

Написание зависит от значения, которое можно понять только в контексте.