С точки зрения авторов толковых словарей варианты равноправны. Д. Э. Розенталь (см. . «Справочник по русскому языку. Управление в русском языке») рекомендует: с помощью – обычно при указании орудия, средства совершения действия, при помощи – чаще при указании лица).
Нет, слова тем временем не являются вводными и не обособляются.
Верен первый вариант.
Оба варианта возможны.
Правильно со строчной: дома культуры.
Слово строителя следует писать со строчной (маленькой) буквы.
Правильно: Открытый кубок Москвы.
Прилагательное от географического названия Кромы – кромский и кромской. Оба варианта верны.
В названиях улиц, площадей, проспектов и т. п. с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, проспект, площадь и т. п.) и слов года, лет. Что касается названий микрорайнов и пр., здесь действует такое правило: в составных географических названиях с прописной буквы пишутся слова, которые употребляются не в своем обычном значении. Правильно: улица Теплый Ключ, микрорайон Теплый Ключ (т. к. это не ключ, а район).
Да, под горку то же, что с горки, т. е. вниз.
