Прописная буква нужна в тех случаях, когда эти слова начинают собой собственное наименование, которое необходимо писать с прописной.

Мы никого не обязываем и ни к чему не принуждаем. Мы рассказываем о том, какова современная норма, – с опорой на словари и справочники. Написание Сеть и Паутина  с прописной (в значении 'об Интернете') зафиксировано, например, в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (4-е изд. М., 2012). Написание с прописной объяснимо: эти слова употребляются здесь не в своем обычном значении, не как нарицательные существительные, они заменяют имя собственное – название компьютерной сети Интернет.

В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006) указано: «Собственные имена исторических лиц, литературных или мифологических персонажей, употребляясь обобщенно (переносно) как названия людей с определенными чертами характера и поведения, пишутся неединообразно — одни со строчной, другие с прописной буквы. Их написание, определяемое традицией употребления, устанавливается в словарном порядке».

Написание нарцисс строчными буквами в значении 'самовлюбленный мужчина' зафиксировано, например, в «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова, в «Современном словаре иностранных слов» Л. П. Крысина и др. источниках.

При написании названий сайтов действуют общие правила: названия пишутся с прописной буквы и заключаются в кавычки: подписывайтесь в «Инстаграме». В бытовом употреблении (при передаче на письме разговорной речи) допустимо написание строчными без кавычек: подписывайтесь в инстаграме, подписывайтесь на инстаграм.

Современные словари русского языка рекомендуют писать оба слова в названии плацдарма под Новороссийском с большой буквы: Малая Земля (см., например: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011). Но в книге Брежнева (и в названии, и в тексте) слово земля написано с маленькой буквы: Сегодня мне хочется рассказать о сравнительно небольшом участке войны, который солдаты и моряки назвали Малой землей. Корректно сохранять такое написание, если речь идет о книге.

Вы написали правильно: чемпион Олимпийских игр (но: олимпийский чемпион).

Такое употребление прописной буквы правильно.

При самостоятельном употреблении этого слова сейчас возможно написание с прописной и строчной: доступ к Интернету и доступ к интернету. При употреблении в качестве первой части сложного слова правильно только со строчной: интернет-сайт, интернет-пользователь, интернет-телеканал.

И всё же это название подчиняется общему правилу: нарицательные существительные в составных географических названиях пишутся с прописной буквы, если они употреблены не в своем обычном значении. Правильно: поселок Чусовское Озеро.

Словарной фиксации нет. Корректно слитное написание. Кавычки не требуются.