Мы ошибки в приведенных примерах не видим. Еще в «Грамматике русского языка» (АН СССР, т. II, ч. I. М., 1954) приводился целый ряд подобных примеров: … кудри — чесаный лен… (Некрасов); ...самоубийства — явление нежелательное (Чехов) и др. (параграф 712, с. 517-518). Между тем эта академическая грамматика была абсолютно нормативной. И грамматические нормы на этом участке системы с тех пор нисколько строже не стали.

Мы не выполняем домашние задания.

Однородность сказуемых определяется наличием общего подлежащего. В односоставных предложениях нет подлежащего, поэтому мы не можем говорить об однородных сказуемых. Убеждай силой логики, фактами, не торопись навязывать своё мнение, уважай мнение собеседника, во время разговора следи за выражением своего лица так же, как и за речью — это сложное предложение, в составе которого есть четыре односоставных определенно-личных части. Мороз и солнце; день чудесный! — тоже сложное предложение из трех частей; первые две связаны сочинительной связью, вторая и третья — бессоюзной.

Такое употребление корректно. В "Большом толковом словаре" одно из значений слова аптека - набор лекарств для оказания первой медицинской помощи или несложного домашнего лечения; шкафчик, ящик, футляр для такого набора.

Соответственно, аптечка - небольшой набор такого типа.

Очевидно, авторы текстов или составители сборников пословиц в некоторых случаях стремятся подчеркнуть противительные отношения частей при помощи тире, хотя противопоставление в этих примерах уже выражено союзом да, поэтому тире в них выглядит излишним, запятой будет вполне достаточно.

Прилагательное старший многозначное и частотное, но традиции, прежде всего в деловой речи, использовать его для характеристики документов, как представляется, нет. Обычно говорят о сроках действия (документов), которые могут быть описаны при помощи слов не более или не менее.  

Поскольку вводное слово в-четвертых можно изъять из предложения без потери смысла, оно отделяется от союза запятой: Во-первых, вертолет оборудовали более продвинутым двигателем, во-вторых, устранили проблемы с электроникой, в-третьих, установили ракетную систему и, в-четвертых, установили на машину дублированную систему управления.

Хоть кол на голове теши (прост. неодобр) – об упрямом, не поддающемся уговорам или равнодушном человеке. Тесать кол – значит заострять палку (кол) при помощи топора. Таким образом, фразеологизм выступает как образная и шутливая характеристика твердости, крепкости головы упрямого человека.