Поставленная запятая необходима.
Возможны варианты, выбор влияет на смысл фразы.
Правильно использовать чужое.
В данном предложении запятые не нужны; заместитель начальника и капитан полиции — обозначения должности и звания, то есть неоднородные приложения.
Запятая нужна.
Деепричастный оборот, в начале которого стоят частицы только, лишь, интонационно не отделяется от предшествующей части предложения (при чтении пауза перед ним не делается), но запятая перед ним обычно ставится: Понять это произведение можно, только учитывая условия его создания; Выучить иностранный язык можно, лишь постоянно занимаясь им.
Но (при тесном слиянии оборота со сказуемым): Они встретились только будучи уже взрослыми.
Высказывание построено корректно. Слово последний, отсылающее к слову трапеция, используется в зафиксированном в словарях значении 'такой, который был назван, упомянут после всех остальных или в конце какого-либо перечисления'. Такое употребление слова последний имеет книжный характер и преследует цель избежать повтора того или иного слова. Слово полусумма не приведено в словарях потому, что значение подобных, однотипно построенных слов с повторяющейся первой частью выводится из значения составляющих их частей, которые в словарях даны. Например, о компоненте полу- в словаре сказано, что он вносит значение 'половина чего-либо'.
Верно: Петр дает согласие Ивану на продажу дома на условиях по его усмотрению. Петр уполномочивает Ивана продать дом на условиях по его усмотрению.
Словари, как можно судить по материалам размещенных на нашем портале изданий, не отмечают произносительные варианты у наречного сочетания все равно. Такое словарное «молчание» позволяет считать, что и какие-либо смысловые или стилистические особенности у этих вариантов не обнаруживаются. Впрочем, словари не всегда отражают нюансы словоупотребления, но это означает, что поиски ответа на вопрос с помощью научной литературы и на основе наблюдений могут представлять собой самостоятельное, отдельное исследование.
Очень интересный вопрос! Вероятно, слово позаточек появилось в результате опечатки. В текстах мы чаще находим в том же месте початочек. Загляните, например, в сборник «Русские народные сказки и басни о зверях» 1914 года. Именно слово початочек образует логичный ряд ответов лисы на вопрос волка «Что Бог дал?»: початочек — середышек — поскребышек.
Что означает слово початочек в тексте сказки? На этот вопрос отвечает «Словарь русских народных говоров». В 30-м томе находим соответствующую статью, а в ней пример — как раз из сказки о лисе-повитухе. Приведем фрагмент этой статьи:
1. Початочек, м. Ласк. 1. Тоже, что 1 Початок (в 1-м знач.) Слов. Акад. 1822 [стар.]. Купи для початочка. Смол., 1914 Пек.
2. Первый, старший ребенок в семье, первенец. — Что бог дал? — спрашивает волк [у лисы-повитухи] — Початочек, — отвечает лиса. Переясл.-Залесск. Влад., Афанасьев.
Первое значение отсылает нас к слову початок. О нем в том же томе словаря читаем: «Начало чего-л., начинание, почин. <...> Видать с початку, что не быть порядку. <...> Початок неплохой, а что дале будет, кто знает».
Получается, что лиса отвечает волку двусмысленно. Волк должен думать о початочке-ребеночке. Но слово початочек означает и первую порцию меда, съеденную лисичкой. Также двусмысленны и слова середыш («средняя часть чего-л.», «середина, средний ребенок, брат и т. п.») и поскребыш («остаток чего-л. съестного», «последний ребенок в семье») («Словарь русских народных говоров», тт. 37, 30).
Вот такая тонкая языковая игра.
