Правильно: Минкавказ.
В одном из значений предлог по употребляется при обозначении причины совершения действия: по случаю праздника, траура, похорон; забыл по старости лет; отсутствовать по болезни; ошибиться по рассеянности.
Поэтому оба указанных Вами варианта верны.
Оба варианта возможны, но употребительнее: учитель математики.
Верно: видеоатлас.
Корректное пунктуационное оформление: Путешествия, сыгранные как по нотам. Вызывает вопросы корректность сочетания сыграть путешествия.
Согласно словарю Ф. Л. Агеенко, верно: Ухань, Ухани, Ухани, Ухань, Уханью, в Ухани.
Однако не все лингвисты разделяют такой подход. Так, в справочнике Л. Р. Концевича "Китайские имена собственные и термины в русском тексте. Пособие по транскрипции" предлагается склонять китайские географические названия, оканчивающиеся на -нь, в зависимости от родового слова. Так, названия городов, горных хребтов, проливов и проч. автор предлагает склонять как существительные мужского рода, например зверь: в [городах] Таньцзине, Сиане, Аньшане. А названия провинций, пустынь, равнин, деревень — как существительные женского рода: в Хуйнани (провинция). Согласно этой логике верно: Ухань, Уханя, Уханю, Ухань, Уханем, в Ухане.
Тире не требуется: Надежда, по словарю Ожегова, это ожидание чего-то радостного...
