Лучше: со слоганом. Непонятно, имеется ли в виду слоган компании или слоган фестиваля.

В принципе оба выражения имеют право на существование.

Фразеологизмами эти выражения считать невозможно. Вместе с тем ставить в них запятую не нужно: в сочетании ходи оглядывайся глаголы в одинаковой форме образуют единое смысловое целое (как идет себе посматривает или попробуй определи), а в сочетании ходи оглядываясь деепричастие имеет наречное значение («с оглядкой»).

Если сказуемое стоит после оборота типа брат с сестрой, то единственное число сказуемого подчеркивает, что первый участник действия играет главную, ведущую роль, а второй как-либо зависит от него. Множественное число показывает, что участники действуют на равных. 

Правилен второй вариант.

Корректно без притяжательного местоимения: чайки расправляют крылья в небесах. 

Слово аргиш ('олений обоз') современными словарями русского литературного языка не фиксируется, поэтому нормы его произношения и употребления не закреплены. Нам пришлось обратиться к разным источникам, чтобы попытаться установить, есть ли у этого слова норма, как говорят лингвисты, узуальная, то есть установившаяся в употреблении, в живой речи. Полагаем, что наше небольшое исследование позволяет с большой долей вероятности предполагать, что такая норма сложилась. Слово аргиш склоняют по модели марш – с ударением на основе: аргиша, аргишу, аргишем и т. д. Вот некоторые примеры употребления соответствующих падежных форм: 

Пермяки ехали на оленьих упряжках, аргишем ― караваном. [А. Иванов. Сердце Пармы (2000)]

Теперь на спусках шел пешком и осторожно вел свой аргиш, а второй оставлял наверху. Потом поднимался за вторым аргишем. [С. Залыгин. Оськин аргиш (1961)]

Оленей было много. Олени там все были с семи мысов. Большие олени были. Тут двинулся к своей земле. Играя, они скачут за аргишем. [Эпические песни ненцев. Москва: Наука, 1965]

Главный научный сотрудник института филологии СО РАН профессор Н. Б. Кошкарёва написала нам, что аргиш — очень частотное слово в Ямало-Ненецком и Ханты-Мансийском автономных округах и в формах этого слова сохраняется ударение на корне (в аргише много вещей, на аргише приехала, управлять аргишем). В значении «кочевать» у ненцев  в живой речи и в фольклоре регулярно употребляется глагол каслать, глагол аргишить не встречается.

Нам также не удалось найти факты, которые позволили бы судить о произношении глагола аргишить. В доступных нам источниках он встречается редко. «Русский этимологический словарь» А. Е. Аникина описывает существительное аргиш, но не упоминает образованный от него глагол. 

Запятая нужна.

Это синонимы, их можно использовать на равных правах.