Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Предпочтительно: не оставляйте чашки (пакеты), так как речь идет о конкретных предметах.
Правильно: «Торпедо-БелАЗ», «Звезда-БГУ».
Деепричастные обороты на письме выделяются запятыми. В этом предложении деепричастный оборот: покупая кофе 23 апреля в рамках акции «Эспресс-помощь». Запятая ставится после всего оборота.
Для постановки запятой внутри деепричастного оборота нет оснований.
Компонент имени, оканчивающийся на согласный, склоняется: достался Алехандро Гонсалесу Иньярриту.
В словарях русского языка и до 1956 года кафе фиксировалось с е на конце. Например, в «Толковом словаре русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (1935–1940) только кафе. Однако вариант кафэ употреблялся в письменной речи, такое написание можно было встретить и на вывесках, это подтверждают примеры из дореволюционных газет (В этот момент из соседнего кафэ выходит артист Малого театра Садовский. «Петербургский листок». 19.02.1914), а также цитата из романа Л. Пантелеева «Ленька Пантелеев»: Они остановились у витрины, на треснувшем и продырявленном пулями стекле которой белыми буквами было написано: КАФЭ «УЮТНЫЙ УГОЛОК».
Оба варианта верны.
Слово кег склоняется, форма кеги (мн. число, именительный падеж) правильная.
Выбор зависит от контекста и того, как построено предложение. В большинстве случаев верно: выход из сложившейся ситуации.
Верно: родился в имении Ясная Поляна; в городе Минске; она танцевала с князем Андреем Болконским.
