Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Правилен второй вариант, ср.: Кубок европейских чемпионов, Кубок кубков, Кубок мира.
Слова не зафиксированы академическим орфографическим словарем. Корректно слитное написание, ср.: инсулинзависимый.
Мужская фамилия должна склоняться, женская — нет. Ср. с созвучной фамилией Солодарь.
Подобные слова пишутся слитно. Ср. со словами, начинающимися с части двадцатипяти-.
Орфографически верно: инообластной (ср. иногородний). Первая часть сложных слов ино... + областной.
Приведенное Вами написание правильно. Ср. также: антиНАТО, квазиНИИ, микроЭВМ, телеКВН, спецПТУ.
Правильно: вглубь острова, вглубь Арктики. Ср.: в глубь океана (=в глубину).
Словарной фиксации нет. Корректно: Третий пересадочный контур (ср.: Третье транспортное кольцо).
Слово кайф пришло из восточных языков (ср. арабское kayf, турецкое kejf).
