Точный ответ на Ваш вопрос содержится в академической «Русской грамматике» (см. § 984): «Морф -жды выступает после гласных в наречиях, где основа мотивирующего слова выступает с наращением за счет финали, совпадающей с флексией им. п. числ.: дважды, трижды, четырежды».

Поскольку финаль, совпадающая с флексией (т. е. окончанием) именительного падежа, перед суффиксом — это то, что очень сложно объяснить в рамках школьной программы, любой школьный разбор этого слова по составу обречен быть неточным, и уже не так важно, как будет выделено это а — как часть корня, как отдельный суффикс или как окончание.

В зависимости от типа анализа структуры слова членение может быть разным.

При собственно морфемном анализе (разбор слова по составу в школьной терминологии) в слове подозрение выделяется приставка подо-, см. «Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой и «Школьный словарь строения слов русского языка» З. И. Потихи.

Словарь А. Н. Тихонова является словообразовательным. При синхроническом словообразовательном анализе учитываются живые семантические связи в современном языке. Этимологически слово подозрение связано с исчезнувшим глаголом подозреть, который был образован от глагола зреть с помощью приставки подо-. В современном языке живые семантические связи между словом подозрение и глаголом зреть отсутствуют, поэтому при синхроническом словообразовательном анализе приставка подо- не выделяется.

Правильно: сапог, туфель.

1 сентября. Классная работа. Диктант. В лесу – всё это заголовки. Точки в заголовке, согласно общему правилу, не ставятся. Однако в школьной практике (особенно в младших классах) точка в конце заголовка обычно сохраняется. Это делается, чтобы не мешать закреплению стереотипа: в конце предложения надо ставить точку. Поэтому учителя часто считают отсутствие точки ошибкой.

Рекомендуется: со школьными трудностями. Предлог со «последовательно выступает перед формами слов, начинающимися сочетаниями „с, з, ш, ж + согласная“ или согласной щ» (Еськова Н. А. Словарь трудностей русского языка. Ударение. Грамматические формы. М., 2014. С. 384).

В лингвистике нет (и не было) единой позиции по этому вопросу. Одни языковеды считают -ть суффиксом, другие – окончанием. В школьной практике -ть сейчас чаще выделяют как суффикс, но в некоторых школьных курсах -ть по-прежнему рассматривают как окончание.

Правильно: Фурлет, Фурлета, Фурлету, Фурлета, Фурлетом, о Фурлете.

Заключать в кавычки названия школьных учебных оценок не нужно: значение 'оценка' у слов двойка, тройка, четверка, пятерка необычным не является, в словарях оно фиксируется, поэтому для постановки кавычек нет оснований.  Верно: получает тройку.

Если девушка уже окончила школу и словосочетание со школы Вы употребили в значении 'со школьных лет, со школьной скамьи', то Вы сказали правильно. Исправление, разумеется, было бы верным, если бы Вы спросили, например: «Ты пришла со школы?». Однако предлог с (со) нормативно употребляется при указании на время, являющееся начальным моментом в развитии, распространении какого-либо действия, состояния.