Если речь идет о сказочном персонаже (друге крокодила Гены), верно: Чебурашка. Если имеется в виду просто игрушка-неваляшка, то чебурашка.
См. ответ 263330.
Обе указанные запятые нужны, они стоят в начале и конце придаточного предложения.
Правильно: рекам. Вариант рекам считается устаревающим.
После вводного сочетания быть может необходима запятая.
Делай что должен, и будь что будет.
В обоих случаях указанные запятые нужны.
Глагол можно заключить в кавычки, чтобы показать его стилистическую чужеродность контексту. Если такой необходимости нет, то кавычки не нужны: слово выкать не новое, оно фиксируется в словарях.
Местоименное прилагательное некий может употребляться и с неодушевленными существительными, например: С некоего момента началась реакция. Была в нем некая странность.