Правильное написание этого сочетания: скрепя сердце.

Если нельзя избежать употребления данной конструкции, то возможно следующее оформление на письме: организация «упрощенец» (без дефиса). Правила правописания этот случай не регулируют. Предпочтительно: в II квартале (при написании цифрами).

Пишется с большой буквы - как географическое наименование.

В деепричастиях прошедшего времени, как и в глаголах прошедшего времени, перед суффиксом сохраняется та же гласная, что и в инфинитиве: увидев, увидел.

Указанная запятая нужна.

Пробелы нужны. См. ответ на вопрос 311403.

Правило звучит так: в составных названиях важнейших документов и сборников документов, государственных законов, а также архитектурных и других памятников, предметов и произведений искусства с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена. Но при этом начальное родовое наименование в подобных названиях архитектурных и других памятников, произведений искусства пишется со строчной буквы. Ср.: дворец Белосельских-Белозерских (дворец — родовое слово), но Дворец конгрессов, Дворец наций (Дворец — первое слово названия). Сложность как раз в том, чтобы определить границы имени собственного, не всегда это можно сделать легко и последовательно.

В приведенных Вами примерах корректно: палаццо Колонна, дворец Александра III в Массандре (ср.: Массандровский дворец), Арсенальная комната Царскосельского дворца (может, использовать современное название — Екатерининского?), парадная анфилада Царскосельского дворца, Малый Трианон, центральный вестибюль замка Шамбор, вилла «Черный лебедь», вилла «Ротонда». 

Сложнее всего, кажется, с названием д/Дом ф/Фавна. Возможно написание дом Фавна (тем более в ряду перечисления других домов  в Помпеях), но в условиях контекста может быть уместно использовать прописную как раз в первом слове, чтобы избежать модели «дом, принадлежащий...» и подчеркнуть, что речь идет о памятнике архитектуры.