Справочники указывают, что названия республик согласуются со словом республика, если они оканчиваются на -ия и -ея, т. е. склоняются (такова грамматическая норма). Однако в официальной речи эти рекомендации не соблюдаются; названия республик, выступающие в функции приложения, как правило, не изменяются по падежам: в Республику Северная Осетия – Алания, по Республике Южная Осетия.
Ставится тире (с пробелами до и после тире) между двумя названиями, одно из которых неоднословное.
Верно: пол Северной Америки.
Правильно: в Северной и Южной Корее.
Оба варианта правильны.
В точки зрения языка верны оба варианта. Какой из них отмечен в тесте в качестве корректного, мы не знаем.
Если имеется в виду не какое-то море на севере, а именно Северное море между Великобританией, Норвегией, и Германией, то здесь орфографическая ошибка: название моря следует писать с большой буквы.
Подробные рекомендации см. в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой.
Корректно с прописной: Машгородок.
