При анализе структуры слова результат членения на морфемы может быть разным, и при этом во всех случаях правильным. Это связано с тем, что анализ может быть:

1. словообразовательным и собственно морфемным;

2. синхроническим и диахроническим.

Чтобы понять, какой тип анализа представлен в том или ином словаре, необходимо внимательно ознакомиться с предисловием и теоретической частью словаря.

Членение замет-н-ый представлено в «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова. Прилагательное заметный в этом словаре рассматривается как мотивированное непроизводным (с точки зрения современного, состояния языка) глаголом заметить. По сути, в этом словаре в слове выделяется не корень, а непроизводная основа слова, которое находится в вершине словообразовательного гнезда. Непроизводным глагол заметить считается в связи с утратой семантической связи с исторически производящим для него словом метить.

Однако словообразовательная непроизводность в современном языке не исключает возможность членения при собственно морфемном анализе. Поэтому в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой в слове заметить выделяется приставка за- и корень -мет-.

В этимологических словарях, демонстрирующих диахронические процессы образования и изменения слова, глагол заметить обычно отсылает к словарной статье производящего слова метить, подтверждая историческую членимость приставочного глагола (см., например «Этимологический словарь» М. Фасмера).

Корректно выделить в слове прогресс приставку про-, сравнив его с однокоренным регресс.

Все верно. Корректно слитное написание. 

Могут быть использованы как предлог С, так и предлог СО.

Нет, в этих словах приставка употреблена с разными значениями.

Именно потому, что смысловой разницы нет, в «Русском орфографическом словаре» РАН (4-е изд. М., 2012) было оставлено одно слово – приумножить.

Такой разбор верен. Также -ть можно выделить как суффикс.

Подробно об этом написано в "Учебнике ГРАМОТЫ".