См. ответ 262653.
Лучше: мы стремимся первыми снижать цены.
Первый вариант предпочтителен, второй допустим.
Запятую следует поставить.
Если смысл заголовка - "играть мастерски", то запятую ставить не следует.
Запятая нужна.
Управление играть против кого-либо не ошибка. В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» (М., 2003) варианты играть с сильной хоккейной командой и играть против сильной хоккейной команды даны как равноправные. Такое употребление встречалось и сто лет назад: В Замоскворецком в воскресенье гости будут играть против сборной русской команды («Утро России», 1912 г.).
Интересный пример. На наш взгляд, корректно такое пунктуационное оформление: После искренних усилий следовать по избранному пути – интересно, не почувствует ли он желания повернуть вспять или После искренних усилий следовать по избранному пути... интересно, не почувствует ли он желания повернуть вспять.
В разговорной речи - возможно.
См. в «Словаре трудностей».