Ситуация до конца непонятна, поэтому рекомендации дать трудно. Предлагаем следующее.

Если точность цитаты можно подтвердить, то ее нужно заключить в кавычки, при этом следует указать, кому  приписывают авторство. Если нет уверенности, что чужие слова передаются точно, то лучше оформить их как косвенную речь или сопроводить оборотом типа как говорят. Выбор подачи чужих слов зависит от стиля, типа текста. 

Вопрос интересный. Всесторонне аргументированный и четкий ответ на него требует наблюдений над обширным текстовым материалом. Пока же отметим, что в лексическом составе и в грамматической структуре «следующей фразы» в приведенном Вами примере нет ничего, что однозначно указывало бы на определенную интонацию, а следовательно, эта интонация может быть разной, что отражается в разных знаках конца предложения.  

Предложение «Наш класс очень дружный!» повествовательное. 

По цели высказывания предложения делятся на повествовательные, вопросительные и побудительные.

Повествовательные предложения содержат сообщение, напр.: Еще свежо, но уже чувствуется близость жары. Голова томно кружится от избытка благоуханий. Кустарнику нет конца... Вот уже жарко стало. Проходит час, другой... (И. Тургенев). В конце повествовательных предложений может ставиться точка, восклицительный знак или многоточие. 

Очевидно, конструкция является неполным безглагольным предложением, использующимся в качестве заголовка или лозунга (такие предложения отвечают на вопросы «кто — чему?», «кто — куда?», «что — куда?», «что — как?», «что — где?» и т. п.). В ней должно быть поставлено тире: Советский стаж — в пенсию!

В этом предложении, воспроизводящем разговорную конструкцию, пропущен глагол речи (или какой-то заменяющий его глагол), так что союз и здесь соединяет, по сути, два однородных сказуемых, а следовательно, запятая не нужна. Сравним: Иногда ты видишь по-настоящему жуткие вещи и такой говоришь (фыркаешь): «Пфф… ну что это?» Знаков после кавычек не требуется, так как внутри кавычек уже есть знак конца предложения – вопросительный.

Поскольку прямая речь, находящаяся в данном случае внутри авторских слов, оканчивается знаком конца предложения, нужно начать ее с прописной буквы. Двоеточие перед кавычками не нужно, потому что прямая речь включена в структуру предложения (выполняет функцию подлежащего). Обратим внимание, что после вопросительного знака, которым заканчивается прямая речь, ставится тире: Наконец послышалось заветное «Да-да?» — и мужчина поднёс телефон к уху.

В ответе на вопрос № 270270 пример был включен в комментирующее его повествовательное предложение. В нем точка необходима как знак конца этого предложения, а не примера.

Знаки препинания корректно расставить следующим образом: Он меня спросил: «Ты читал роман "Что делать?"».

Такая подача примеров принята в справочниках по пунктуации. Вероятно, от этого приема нужно отказываться. 

В ответе на вопрос № 270270 подача примера скорректирована.

А где инициалы?

ИНИЦИАЛЫ, -ов; мн. (ед. инициал, -а; м.). [от лат. initialis - начальный]
1.
Первые буквы имени и отчества или имени и фамилии, реже имени, отчества и фамилии. Вырезать на дереве чьи-л. и. Ложка с инициалами "С.К."
2. Спец.
Укрупнённые и украшенные заглавные буквы в начале книги, главы или абзаца. < Инициальный, -ая, -ое (2 зн.). И-ые буквы нарисованы красной тушью.

Звездочка в этом словаре, вероятнее всего, указывает на возможность слитного или дефисного написания слова – в зависимости от того, каким критерием мы руководствуемся (смотрим на соотношение основ или обращаем внимание на суффикс прилагательного в первой части слова). Написание сложных имен прилагательных – один из самых острых и до конца не решенных вопросов современного русского письма. Академическим «Русским орфографическим словарем» РАН (4-е изд. М., 2012) установлено слитное написание: горнодобывающий, горнолыжный.