Правильно без кавычек: агентство Рейтер.

Нет, такое написание невозможно. Прилагательное от Ростов-на-Дону – ростовский.

Название Открытого чемпионата Франции по теннису корректно писать в кавычках, например: стартовал «Ролан Гаррос», на кортах «Ролан Гаррос». Кавычки выполняют здесь дифференцирующую функцию: помогают отличить название турнира от имени французского летчика, в честь которого назван турнир.

Название Уимблдон пишется без кавычек и склоняется: на кортах Уимблдона, победить на Уимблдоне.

Стигматы (греч. "клеймо, укол, рубец, знак, пятно") — покраснения на коже, кровавые подтеки, язвы, непроизвольно возникающие на телах искренне верующих людей в тех местах, где, согласно Библии, у распятого Иисуса Христа находились раны от тернового венца и гвоздей.

Сегодня существуют многочисленные печатные пособия по транслитерации английских слов. Их можно найти, воспользовавшись поисковыми сервисами Рунета.

Домашними (уменьшительными) могут быть абсолютно любые созвучные имена.

Обратитесь, пожалуйста, к учебному пособию: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i7

Постараемся обобщить рекомендации.

Обороты с предлогом «исходя из» обычно выделяются запятыми.

Исходя из прошлого опыта, догадываюсь, что это с плиты свалилась сковорода. В. Токарева, Будет другое лето. Исходя из этого, мы засыпаем в амбар для колхозников две с половиной тысячи центнеров. Б. Можаев, В Солдатове у Лозового. Исходя из цифр переписей, показаний свидетелей и других данных, исследователи находят, что число погибших превышало 7 миллионов человек. А. Кузнецов, Бабий Яр. Исходя из этого, ум служит единственно возможным источником наслаждения. А. Чехов, Палата № 6.

Запятые не требуются, если оборот с предлогом «исходя из» тесно связан по смыслу со сказуемым.

Мы по-прежнему пытались прогнозировать свое и общее будущее исходя из разумных посылок. Е. Гинзбург, Крутой маршрут. Проект разработан исходя из запланированной стоимости.

Обороты со словами «исходя из» не отделяются знаком препинания от предшествующего союза «а», если оборот нельзя изъять из состава предложения или переместить.

Я ведь не по восторженности отпустил тогда Ислам-бека, господин полковник, а исходя из внутренних убеждений и совести своей. Б. Васильев, Были и небыли.

Теперь касательно второго вопроса. Запятые ставить не нужно, поскольку деепричастие выступает в роли обстоятельства образа действия.

Да, название Сгомонь происходит от русского диалектного гомонить 'шуметь, говорить'.

Вам помогут электронные словари в рубрике "Проверка слова" на нашем портале: http://www.gramota.ru/slovari/dic/