В этом случае непонятно, что имеется в виду под выражением как отправить приглашение. Если речь идет о способе отправки приглашения, то лучше так и написать: выберите способ отправки приглашения.

Во втором предложении нужно поставить перед союзом и запятую (по общему правилу о сложносочиненных предложениях) либо тире (для подчеркивания значения следствия): Если награда не начислится до 20 сентября, то напишите нам — и мы проверим.

Во всех приведенных вами предложениях слова автора следует начинать с прописной буквы, поскольку все они образуют отдельное предложение. В последнем предложении (если это одно предложение) пропущена запятая: Зачем так официально — «Наталья Борисовна!», «Наташа» вполне подойдёт. Но лучше разделить это предложение на два: Зачем так официально — «Наталья Борисовна!»? «Наташа» вполне подойдёт. Необходимость постановки восклицательного знака вызывает сомнения.

Правила не изменились: по нормам русской орфографии по-прежнему недопустимы слитные написания с прописной буквой в середине слова (см., например, § 151 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

К сожалению, игнорирование этой нормы не препятствует фиксации подобных названий в регистрационных документах компаний. А дальше во всей документации название приходится писать так, как оно закреплено в уставе.

Написание этих слов надо запомнить. Они являются исключениями и пишутся с двумя буквами н вместо одной, предусмотренной основными правилами. К исключениям, кроме слов невиданный, неслыханный, также относятся другие слова с приставкой не: неведанный, негаданный, нежеланный, нежданный, ненадёванный, неожиданный, нечаянный и (в составе устойчивого сочетания) недреманное око.

Спешим Вас успокоить: правила никто не менял. Пунктуационное оформление, о котором идет речь, встречается не так часто, поэтому о нем не идет речь в учебниках русского языка, о нем не говорят в школе (в школе изучают не все правила правописания, ведь задача школы – заложить базовые сведения, а не подготовить профессионального корректора). Это правило приведено в пособии Д. Э. Розенталя «Пунктуация» (и было приведено в изданиях прежних лет), но это очень подробный справочник, в нем рассмотрены многие частные случаи, о которых не говорится в других справочных изданиях.

В том случае, когда слова автора, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение (т. е. в них нет глагола речи сказал, закричал, воскликнул и т. д.) и когда прямая речь не заканчивается вопросительным знаком, восклицательным знаком или многоточием, точка после нее обязательна.

Спасибо за интересный вопрос! Слова восхитительный и хит не являются однокоренными, хотя некоторую ассоциативную связь между ними действительно можно найти.

Прилагательное восхитительный образовалось от глагола восхитить: восхитительный – это тот, который восхищает. Глагол восхитить заимствован из старославянского языка и восходит к слову хытити 'хватать, похищать' (ср. с современными родственными словами похитить, хитрый). 

Существительное хит заимствовано русским языком в конце ХХ в. из английского, где hit – это удар, попадание, удачная попытка, гвоздь сезона. В русском языке хитом называют музыкальное произведение (обычно эстрадное), имеющее наибольшую популярность в течение какого-нибудь промежутка времени. Существительное хит потеснило в употреблении более раннее немецкое заимствование шлягер.

Интересно, что слово хит в современных словарях перестало характеризоваться как свойственное только разговорной речи, а ведь еще в «Толковом словаре иноязычных слов» Л. П. Крысина 2008 г. оно сопровождалось пометой разг. 

Мы при всем желании не дадим Вам короткого однозначного ответа на этот вопрос — такого, который охватывал бы все возможные случаи. Безусловно, прописная буква может служить сигналом необычного употребления слова, но злоупотреблять этим сигналом не следует, ведь выделительных средств много (кавычки, курсив, разрядка и мн. др.). В разных текстах и в разных ситуациях может оказаться уместным использование разных средств выделения.

Окончательное решение часто остается за автором, только он определяет границы имени собственного и решает, какой способ орфографического оформления выбрать. Но выбор автора должен оправдываться текстом и последовательно соблюдаться в тексте. Если говорить о прописных буквах, то орфографисты сейчас особо подчеркивают: характерная для современных текстов ситуация, когда авторы присваивают статус имени собственного любому словосочетанию и пишут каждое слово внутри сочетания с прописной, не отвечает традициям русского письма. 

Предложенный Вами вариант оформления (Радужных столбов; Столб) возможен.

Да, это и правда тема для форума.

Откровенно говоря, мы не видим в этой фразе какой-либо нелепости. Буквально: Если бы тебя (языка) не было, то при виде всего, что совершается дома, следовало бы впасть в отчаяние. Сослагательное наклонение выражается с помощью инфинитива.

В первом предложении фразы действительно нужно оформить как прямую речь, поскольку они были сказаны; предложенный Вами вариант расстановки знаков корректный. Во втором предложении представлены не сказанные фразы, а внутренняя речь, принадлежащая автору; здесь не требуется кавычек, однако двоеточие нужно: Даже сейчас, когда я сижу здесь и пишу эту книгу, воодушевленная доверием и поддержкой стольких людей, которыми я восхищаюсь, меня не покидает мысль: а захочет ли кто-нибудь читать эту книгу?

Слова вода и водка исторически родственны, но сейчас их вряд ли можно признать однокоренными, значение слова водка невозможно истолковать через значение слова вода. Приведем статью из этимологического словаря Н. М. Шанского и Т. А. Бобровой.

Во́дка. Искон. Суф. производное от вода. Первоначальное значение «спиртовой лекарственный настой» (на травах). Значение «водка», очевидно, возникло у этого слова под влиянием польск. wódka — свободной кальки лат. aqua vita «алкоголь» (буквально — «вода жизни»).