Правильно: о Дмитрии Вадимовиче. У слов мужского рода на -ий в предложном падеже окончание -и.

Если это вопросительное предложение (будут показывать?), вопросительный знак после кавычек не нужен (одинаковые знаки до и после закрывающей кавычки не пишутся), если же это повествовательное или восклицательное предложение, то знак – соответственно, точка или восклицательный знак – ставится: Завтра по телевизору будут показывать передачу «Что? Где? Когда?». Завтра по телевизору будут показывать передачу «Что? Где? Когда?»!

Правильно так: Смех и радость сами рвались наружу, и хотелось делиться ими со всеми, однако вокруг никого. Это сложное предложение с сочинительными союзами и, однако. 

Примеры предложений, слов, словосочетаний и т. д. в текстах принято выделять шрифтом, например: Как сказать Я тебя не знаю по-китайски? Если по техническим причинам шрифтовое выделение использовать затруднительно, фраза заключается в кавычки: Как сказать «Я тебя не знаю» по-китайски? Если пример представляет собой законченное предложение (как в данном случае), он начинается с прописной буквы, если это слово или сочетание слов — со строчной. Таким же образом целесообразно оформлять примеры, написанные латиницей: Чтобы сказать Я тебя не знаю, мы говорим I don’t know you. Однако при невозможности шрифтового выделения слова и фразы, написанные латиницей, в русском тексте обычно не заключаются в кавычки (сама по себе смена алфавита — достаточно сильное выделительное средство): Чтобы сказать «Я тебя не знаю», мы говорим I don’t know you.

Нашлись – форма мн. числа прошедшего времени глагола найтись, одно из значений которого – 'сообразить'. См. словарную фиксацию.

В действительности оба примера употребления деепричастия не вполне корректны. Дело в том, что обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом, синонимично обстоятельственному придаточному предложению, в Ваших примерах – придаточному с временнЫм значением (с союзом "когда"): Когда он стал демонстративно собирать свои вещи, он обиделся (Что звучит странно, не правда ли?).

Второе же предложение (Он долго учился, в результате став прекрасным специалистом) и вовсе невозможно, нужно сказать: Проучившись долго, он в разультате стал прекрасным специалистом.

Правильно: поняла.

Слова "можно сказать" нужно обособить.

Обе фразы не соответствуют нормам литературного языка.