Словарная фиксация есть, причем неодинаковая: «Моссад» (Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Прописная или строчная? – 7-е изд., перераб. и доп. М., 2005) и МОССАД (Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011). Первый вариант употребляется чаще.

Ваша знакомая права: при приветствии в русском языке традиционно употребляется именительный падеж («Доброе утро!», «Добрый вечер!», а не «Доброго утра!», «Доброго вечера!»). Родительный падеж («Спокойной ночи!», «Всего доброго!») используется при прощании, а не при приветствии. Поэтому правильно говорить «Добрый день!».

См. также ответ на вопрос № 256612.

Что Вы называете йотированными окончаниями в приведенных примерах?

Эти местоимения нельзя считать "окончаниями", однако они употреблены в соответствующем каждому существительному грамматическом роде и числе, при этом определенные закономерности в склонении существительных и местоимений действительно существуют (в современном русском языке эти закономерности легче проследить по полным прилагательным).

Названия букв латинского алфавита (икс, игрек, зет и т. д.), греческого алфавита и других алфавитов склоняются в русском языке. Рекомендация не склонять такие названия в составе формул может быть обусловлена необходимостью точного и однозначного прочтения формулы. Полагаем, что в таких контекстных условиях несклонение возможно (но не обязательно!).

Сейчас нормативными являются только формы множественного числа: качели, качелей, качелям и т. д. Формы единственного числа устарели. Они отмечаются, например, в «Словаре русского языка XI–XVII веков», «Словаре Академии Российской» 1789–1794 гг. В СМИ употребление старой формы, в принципе, возможно – для создания особого стилистического колорита.

Тату – новое, недавно заимствованное слово. Оно еще осваивается русским языком, поэтому вполне возможны колебания в употреблении и разночтения в словарях. За средний род – внешний облик этого слова (несклоняемое, иноязычное, оканчивается на гласную), возможность согласования по женскому роду обусловлена влиянием давно существующего в русском языке слова татуировка.

Ваша фамилия склоняется. Правило таково.

Все фамилии, кончающиеся на неударное а после согласных, склоняются по первому склонению (напр.: Рибера — Риберы, Рибере, Риберу, Риберой, Сенека — Сенеки и т.д.). Все такие фамилии, независимо от происхождения, являются морфологически членимыми в русском языке, т. е. в них выделяется окончание -а.

Орфографическая форма этого слова пока не установлена академическим орфографическим словарем. Сейчас написание колеблется: пишут и слитно, и раздельно, и через дефис. Предполагаем, что будущее все же за слитным написанием, так как часть ап в русском языке не обладает достаточной смысловой самостоятельностью. Есть и орфографические аналогии: пикап, мейкап. 

Как ни странно, слово забор зафиксировано словарями русского языка как существительное от глагола забирать. Конечно, слово это предпочтительно использовать в терминологическом значении: забор воды, а в таких сочетаниях, как забор товаров, забор документов, оно выглядит как донельзя канцелярское. Тем не менее в деловом стиле его употребление допустимо.