В обоих случаях указанные запятые нужны.
Корректно слитное написание.
Верно: эконом- и премиум-класса.
Запятая нужна. Но обратите внимание: предложение содержит повторяющееся в разных формах слово быть; чтобы избежать тавтологии, его лучше перестроить.
Определение академический означает, что издание подготовлено сотрудниками научно-исследовательского учреждения, входящего в систему Российской академии наук (прежде – АН СССР). Например: академическая «Русская грамматика» 1980 года, академический «Русский орфографический словарь», полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» 2006 года – над всеми этими изданиями работали специалисты Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН (прежнее название – Институт русского языка АН СССР). Гриф Академии наук стоит на обложке каждой из этих книг.
Нормативный словарь – словарь, фиксирующий нормы литературного языка, сохраняющий культурную языковую традицию. Академические словари – нормативные словари, но при этом нормативный словарь может не быть академическим. Например, «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко не является академическим (его автор не работает в системе РАН), но словарь этот нормативный.
Самый полный орфографический словарь современного русского языка – это «Русский орфографический словарь», подготовленный Институтом русского языка им. В. В. Виноградова РАН (4-е изд. М., 2012), т. е. это академический словарь. В предисловии к 4-му изданию указано: «Словарь является нормативным справочником, отражающим лексику русского языка начала третьего тысячелетия и регламентирующим ее правописание».
В обоих случаях возможны варианты – с запятой и с двоеточием.
Предложение построено не вполне корректно (нельзя сказать: возникла проверка), поэтому ни один вариант не верен. Предложение следует перестроить.
Постановка запятой факультативна.
Судя по части фразы, которую Вы привели, это сложное предложение, запятая перед что нужна. Однако точный ответ можно дать, только зная более широкий контекст.
Гласная в корне этого слова проверяется в словарном порядке.
