Написание слова объясняется его происхождением. Оно имеет южнославянские корни, как и большинство слов с корнем -равн-. Корень -ровн- имеет восточнославянское происхождение. Академик В. В. Виноградов предполагал, что слово равнодушие могло означать 'одинаковость, равность, постоянство внутри одного сознания'. Подробнее об этом можно прочитать в книге В. В. Виноградова «История слов» (электронный вариант статьи из этой книги см. на сайте «Этимология и история слов русского языка»).
Правильно: уйти по-английски.
Корректно: тест на аудирование.
Существуют оба слова.
Верно: по причине поджога.
См. Склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Нужно поставить запятую.
Пишется раздельно: по новой.
Оба варианта верны.
