Если речь идет о названиях заведений, то в этом случае любое из упомянутых словосочетаний выступает в качестве имени собственного. У имен собственных, как известно, особое смысловое назначение и особые функции в языке. Есть ли какие-либо основания говорить о прямом или переносном значении существительных лебедь или кот, если они отнесены к заведению?

Речь идет о лексической избыточности (т. е. понятно, что Тула - это город, а май - это месяц, а значит слова месяц и город лишние). В отличие от тавтологии (масло масляное), которая является ошибкой, лексическая избыточность (плеонастичность) возможна в определенных ситуациях (Ваши примеры - из канцелярской, деловой речи).

Оборот по классу вокала корректен. В этом можно убедиться с помощью нормативных толковых словарей. Например, в Малом академическом словаре значение слова класс «подразделение учащихся в специальной школе (обычно художественной), занимающихся у определенного преподавателя или проходящих определенный предмет. Класс рояля, Класс живописи»  иллюстрируется примером: Я много работала у Добужинского по классу композиции и у Яковлева — по рисунку (Каверин, Перед зеркалом).

Возможны два варианта:

1. Неизменяемая женская фамилия на -ЫЙ (к Татьяне Борзый, о Елене Малый).

2. Фамилия, изменяемая по образцу прилагательных (к Татьяне Борзой, о Елене Малой).

Как правило, если фамилия совпадает с русским прилагательным, она склоняется как прилагательное (борзая, малая, скорая).  Если же такого прилагательного в русском языке нет, то женская фамилия, оканчивающаяся на согласный, не склоняется (например, Бокий).

Прежде всего надо сказать следующее: никаких новых правил – «фурсенковских» и «нефурсенковских» – не существует. Если Вы имеете в виду прошлогоднюю шумиху в СМИ о якобы «новых нормах языка», введеных Минобрнауки, то спешим Вас успокоить: никаких новых норм министерство не вводило, а «нововведениями» журналисты назвали тогда варианты, которые либо уже несколько десятилетий фиксируются словарями как допустимые, либо и вовсе представляют собой старую, уходящую норму.

Теперь по существу Вашего вопроса. Правильно: подьяческий, а увиденное Вами написание – орфографическая ошибка. Мы написали об этом факте в администрацию Санкт-Петербурга. Будем надеяться, что ошибку исправят.

Корректор неправ. Верно: одним миром мазаны. Так говорят о людях с одинаковыми недостатками: один не лучше другого. Выражение образовано от словосочетания мазать миром и восходит к церковным обрядам помазания. В выражении употребляется не слово мир  (и не слово мирра 'ароматическая смола'), а слово миро – специально приготовляемое благовонное масло, которым священники смачивают лбы верующих, чтобы благословить их и выделить среди других. Первоначальное значение оборота – 'одной веры'. Слово миро 'благовонное масло' пишется с одной буквой р.

Да, это слово пока не зафиксировано словарями русского языка. В Интернете (на сайтах, посвященных кулинарии) встречаются оба варианта написания – гаспаччо и гаспачо. Но в русском языке есть примеры написания с одним Ч заимствованных из испанского языка слов с конечным -cho: мачо (macho), гаучо (gaucho). А написание с двумя Ч (каприччо, пастиччо) встречается в словах, заимствованных из итальянского языка. Учитывая, что гаспачо пришло к нам из испанского, правильным следует считать написание гаспачо (gazpacho).

В русском языке есть слово баллон.