Большой толковый словарь

Правописание этих слов подчиняется правилу о написании гласных в так называемых чередующихся корнях: гласный передается на письме буквой и, если сразу после корня стоит под ударением гласный а; в остальных случаях (при отсутствии ударного а после корня) на месте безударного гласного пишется буква е (разбирать — беру, удирать — задеру, расстилать — стелить и др.). 

Слова зачем и ни за чем (низачем) не являются "грамматической парой". Зачем - слово с функциональностью союза, со значением цели. Низачем - ответная реплика в просторечии, в разговорной речи. Это слово можно написать слитно, по аналогии с незачем (=бесцельно) и нипочем, но, подчеркнем, относится оно только к разговорно-просторечной сфере, а значит, с трудом поддается "орфографической кодификации".

В этих предложениях запятая не нужна, так как союз и связывает два однородных члена. 

Однородные члены предложения, соединенные одиночными соединительными или разделительными союзами (и, да  в знач. «и»; или, либо ) не разделяются запятой: Теплоход встал поперек реки и дал течению развернуть его вниз, по ходу (Расп.); День да ночь – сутки прочь (посл.); Поддержит он Уздечкина или не поддержит? (Пан.).

Наречие на -о, образованное от слова с двумя н, также пишется с двумя н. Сопоставление с парой обиженный > (нареч.) обиженно совершенно правильно. От завышенный образуется наречие завышенно. В словарях фиксируются не все системно образуемые наречия на -о.

Фраза Услуги оплачивались завышенно построена неудачно, она лексически недостаточна. Наречие нужно заменить сочетанием слов, например одним из следующих: по завышенным тарифам / ценам / размерам платы.

Сочетание большой друг корректно, оно употребляется в русском языке, например: Это Борис Андреевич, мой большой, большой друг. И. Ефремов, Бухта радужных струй. Мой большой друг – английский посол в Неаполе лорд Гамильтон – попечительствует обо мне. Э. Радзинский,  Княжна Тараканова. Однако характерно это сочетание скорее для книжной речи и публицистических текстов (ср. устойчивое выражение советской эпохи: большой друг Советского Союза), нежели для разговорной речи.

Указательное местоимение может выступать в роли сказуемого — например, в реплике Платона Михайловича в «Горе от ума»: Теперь, брат, я не тот. В вашем же примере оно является подлежащим (ср.: Настоящим другом является не тот..., а тот...). Тире ставится по правилу о тире между подлежащим и сказуемым, выраженными формами И. п., хотя здесь оно не обязательно, т. к. есть отрицание.