Запятая нужна, так как частица только относится не к придаточной части когда дошло до пристанища, а к последующей главной. В этом можно убедиться, переставив придаточную часть: Или привечали Богодула в Матёре больше, или по другой какой причине приглянулся ему остров, но только Богодул, когда дошло до пристанища, выбрал Матёру.

В третьем предложении из приведенных Вами частица только также стоит между союзом но и словом когда, но она относится к придаточной части. Перестановка придаточной части ведет к искажению смысла. Ср.: Приписать отрывку какой-то смысл очень легко, но только когда мы рассмотрим его в непосредственном контексте, мы сможем по-настоящему понять, что хотел сказать автор и Приписать отрывку какой-то смысл очень легко, но только мы сможем по-настоящему понять, что хотел сказать автор, когда мы рассмотрим его в непосредственном контексте. 

В двух других примерах перед частицей только нет союза. В них действуют такие правила.

1. Не ставится запятая между главной и следующей за ней придаточной частью сложноподчиненного предложения, если перед подчинительным союзом или союзным словом стоит отрицательная частица не. Ср.:  В море, в качке, спишь не когда хочешь, а когда можешь; Он знает не только где водится дичь, но и какие её разновидности там обитают.

2. Если перед подчинительным союзом стоят усилительные частицы как раз, только, лишь, исключительно и т. п., то запятая ставится перед ними вопреки интонации (при чтении пауза перед ними не делается). Ср.: Я эту работу выполню, только если буду свободен.

Корректно: из са́мого (центра ч.-л.), в са́мом (центре), в са́мой (сердцевине) и т. п. В этих конструкциях представлены формы адъективного местоимения са́мый: в са́мом де́ле; на са́мом де́ле; са́мое вре́мя гуля́ть. Вероятно, возможна путаница с формами местоимения сам.

Корректно: В ответ на Ваше обращение, поступившее на официальный сайт города, сообщаем...

Знаки препинания стоят верно.

Сочетание некорректно, нужно переформулировать.

По основному правилу тире не требуется. Можно поставить интонационное тире, в этом случае решение принимает автор текста.

Верно слитное написание.

Правильно.

Вы имеете в виду программу проверки правописания, встроенную в Microsoft Word? Всецело доверять ей не стоит. Программа хороша для выявления описок, опечаток, которые трудно заметить при чтении текста с экрана, но, если речь идет о пунктуации или грамматике, особо полагаться на нее не следует.