Грамматически верно согласование: в Республику Абхазию, о признании Республики Абхазии. Но следует признать, что эта грамматическая рекомендация часто не соблюдается.

Если Вы более внимательно прочитаете ответы на вопросы 286622 и 305430, то обнаружите, что речь в них идет о разных словах: некошеная трава — прилагательное, не кошена трава — причастие. 

Подробнее см. https://orfogrammka.ru/OGL02/81920146.html#id-17%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86-%D0%9F%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9E%D0%9F%D0%98%D0%A1%D0%90%D0%9D%D0%98%D0%95%C2%A0%D0%9D%D0%95%C2%A0%D0%B8%C2%A0%D0%9D%D0%98

В приведенных примерах отсутствие кавычек оправданно. Обычно не выделяется кавычками прямая речь, если нет точного указания, кому она принадлежит (это Ваш первый пример); если она приводится в таком виде, который может иметь и косвенная речь с этим же лексическим составом. При этом слова, указывающие на источник сообщения, в периодической печати могут выделяться одними запятыми, без тире (как в последнем Вашем примере).

К сожалению, приходится констатировать, что с подобными изысканиями, представляющими собой (мягко говоря) фальшь и нелепые выдумки, можно столкнуться не только на Украине, но и в других бывших советских республиках, в том числе и в России. Механизм один и тот же: авторы «научных» трудов объявляют, что первыми людьми на Земле были представители их нации, а первым языком, от которого произошли все остальные, – их язык. Так, украинские псевдоученые заявляют, что украинский язык – один из древнейших в мире (и уж во всяком случае древнее русского, который представляет собой диалект украинского), а их российские «коллеги» – что от русского языка произошли все языки мира (и даже рисунки в пустыне Наска и надписи на египетских пирамидах сделаны по-русски). И то, и другое одинаково далеко от реальности и нелепо, но весьма плачевно, что подобные фантазии находят поддержку у определенной части аудитории, служат своеобразной опорой для самоутверждения и почвой для развития национализма.

Правда же состоит в том, что предком всех славянских языков был праславянский язык, восходящий к индоевропейскому праязыку. Праславянский язык существовал в течение длительного времени – с 3-го тысячелетия до н. э. до 2-й половины 1-го тысячелетия н. э., когда произошел его распад и разделение на разные славянские языковые группы.  С VI–VII в. до XIV в. предки русских, украинцев и белорусов говорили на одном языке – общем языке восточных славян, называемом также древнерусским (это научный термин, не означающий какого-либо превосходства русского языка над остальными), но в XIV–XV вв. произошел и его распад на 3 самостоятельных языка – русский, украинский и белорусский. Такова реальная история этих языков, и те труды, где она поставлена с ног на голову, где украинский (или русский) язык выдается за  праславянский или даже праиндоевропейский, можно смело отнести к жанру фэнтези.

Наименование Республика Белоруссия, действительно, используется в нормативных правовых актах Российской Федерации. 

Предлог в течение написан верно. Обратите внимание: предпочтительно писать кешбэк.