Да, нужно писать со строчной.
Вот что пишут об этом слове специалисты Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, авторы «Объяснительного русского орфографического словаря-справочника»:
«Написание слова колеблется: пишут и файер, и фаер. «Русский орфографический словарь» 2012 г. включил слово в написании файер (также файерный, файер-шоу) с обозначением й перед йотированной гласной буквой в иноязычном слове. Таким образом, слово пополнило ряды исключений из правила о передаче сочетания звуков «[j] + гласный» в позиции после гласного. Однако к настоящему времени установившимся является написание без й, как и в словах фаербол (название истребителя времен Второй мировой войны, трюк в огненном шоу), фаер-шоу. Написание без обозначения йотации установлено, например, для слов траектория, флаер («листовка»), фраер, ваер, вьюер, туер, буер, элюент».
Таким образом, коллеги приняли решение вынести слова фаер, фаер-шоу из числа исключений и подвести их под общее правило: после гласного сочетание звуков «[j] + гласный» передается соответствующей йотированной буквой е, ё, ю, я, а также сочетанием йо в заимствованиях, напр.: поехать, маёвка, паять, поют, суета сует, аюрведа, хикаят, майор.
Такая формулировка некорректна.
Грамматически верно: домашний уют со "Столплитом".
Тире поставлены верно.
Вариант слазить (слазь) просторечный.
Запятая перед как нужна. Союз как присоединяет придаточное сравнительное предложение.
См. ответ 280478.
Предложенные варианты «родом» из разговорной речи, и поэтому их характеризует совершенно определенная стилистическая окраска. Предпочтительным представляется сочетание с прилагательным рождественский.
Мы не выполняем домашние задания.
