Оба варианта верны, но значение глаголов немного различается. Подробнее см. в словарях.
Стилистически нейтрально: резинка для стирания, стирательная резинка. Разговорные названия – ластик, стёрка. Эти слова также приводят как пример различий в речи москвичей и петербуржцев. Москвичи говорят ластик, петербуржцы – стёрка.
Корректно: стирательная резинка, резинка, ластик (впрочем, некоторые лексикографы считают, что это наименование носит разговорный характер). Стёрка, стирка, стирашка, гумка, клячка, клачка и др. — просторечные и региональные наименования этого предмета.
Винительный падеж. См. также ответ на вопрос № 284354.
Правильно: речонка (но: реченька).
Правильно: в школе-интернате.
Да,здесь есть нарушение лексической сочетаемости: глагол искромсать может сочетаться лишь с неодушевленными существительными.
