Почему бы нет? Но только в разговорной речи.

С первым апреля!

В этом предложении нет двусмысленности, определение с большими недоделками относится к ближайшему слову дома.

Просьба —  многострадальное слово. Чего только стоят объявления в крупных магазинах вроде следующего: «Сотрудника отдела бытовой техники просьба подойти на инфостойку».

И в этом примере, и в примере Просьба перестать ломать ограду наблюдается одно и то же явление: существительное просьба используется вместо глагола (просят, просим) — и, что самое главное, существительному безосновательно придаются синтаксические свойства глагола. Так, в примере из гипермаркета форма В. п. сотрудника объясняется только тем, что подразумевается «просят (просим) сотрудника»: просить кого? что? — стандартное управление глагола просить, но не существительного просьба.

И в вашем примере инфинитивная конструкция перестать ломать примыкает к сущ. просьба так же, как примыкает к глаголу: просим перестать.

Следовательно, в основе конструкции, о которой вы спрашиваете, лежит определенно-личное (просим) или неопределенно-личное (просят) предложение, и сущ. просьба в ней является эквивалентом одной из этих глагольных форм. Поэтому корректно интерпретировать его как главный член односоставного предложения — просто главный член, не подлежащее и не сказуемое. Перестать ломать — дополнение (ср. просить, просьба о чем?), которое не квалифицируется ни как прямое, ни как косвенное, так как падежа у него нет.

Что же касается самого предложения, то ни под один из выделяемых в традиционной грамматике типов оно не подводится. Можно считать его разговорной модификацией (не)определенно-личного предложения.

Перебежавший - форма глагола перебежать (причастие).  Таким образом, отношения между единицами перебежать и перебежавший характеризуются как словоизменительные, а не словообразовательные.

Знаки препинания расставлены верно, в данном случае деепричастный оборот не обособляется.

Тире поставлено верно. После слова эпизодов нужна запятая. Также возможен такой вариант пунктуации: Парень замер и искренне улыбнулся своей партнерше. Он был рад, что до окончания съемок осталось не так уж много эпизодов, и надеялся в будущем не пересекаться с этой актрисой: уж слишком она была капризной и заносчивой.

Да, можно.

Большой толковый словарь

Это сложноподчиненное предложение. Часть что нужно сделать является придаточной и выделяется запятыми. Между подлежащим и сказуемым главной части (всё и перестать волноваться) необходимо тире. Правильно: А всё, что нужно сделать, — это перестать волноваться.