Знаки препинания внутри предложения не требуются.
Запятая не нужна.
Оба варианта возможны. Сочетание в этой связи просторечным не является (см. его фиксацию в словарях: Правильность русской речи / Под ред. С. И. Ожегова. М., 1965, с. 184; Трудности словоупотребления и варианты норм русского литературного языка / Под ред. К. С. Горбачевича. Л., 1974, с. 401; Большой толковый словарь / Под ред. С. А. Кузнецова. СПб., 1999, с. 1164). Соответствуя норме современного русского литературного языка, это устойчивое cочетание употребляется как наречие со значением 'связывая со сказанным выше' и служит своеобразной формулой перехода от одной мысли к другой.
Важно иметь в виду, что выражение в этой связи характерно прежде всего для публицистики.
Верно: в связи со служебной проверкой.
В именительном падеже числительные управляют зависимым существительным, в косвенных падежах - согласуются.
Управление (если считать "лесом" формой существительного) или примыкание (если рассматривать "лесом" как наречие).
Верно: со своевременным.
