Корректно: Если клиент не прервал звонок, но не возобновил разговор, то оператор может спросить: «Я могу еще чем-то помочь вам?»  — и, при молчании клиента, прервать звонок. Обратите внимание, что при передаче устной речи местоимение вы, даже обращенное к одному лицу, пишется со строчной буквы.

Действительно, сочетание клиент по услугам выглядит неудачно стилистически. Лучше было бы написать Если вы пользуетесь домашним интернетом от нашей компании... или подобным образом.

Запятые нужны.

Если заголовок набран прописными, то и наращение должно быть набрано прописными.

Как правило, такая рубрикация не допускается.

Правильно: Общество с ограниченной ответственностью «ХХХ», именуемое в дальнейшем «Клиент», намерено участвовать в конкурсе...

Запятая не требуется.

На это предложение есть несколько возражений.

Во-первых, слово поп в русском языке обозначает именно православного священника, причем не является нейтральным. В словарях оно дано с пометой «разговорное» и нередко используется в контекстах, где речь идет о каких-либо негативных качествах священника (жадность, наглость и др.).

Во-вторых, папа римский — это не просто священнослужитель, это глава католической церкви. Слово поп такого значения не передает.

В-третьих, Вы сами пишете: по устоявшейся традиции. Традиции в языке очень сильны, и сочетание папа римский давно устоялось в русском языке для обозначения главы католической церкви. Нет никакого смысла это менять, да язык и сам не позволил бы нам это сделать.

Правильно: уплатить страховую премию. Оплатить – то, за что платят: учебу, поездку, лечение, услуги.  Уплатить – то, что платят: взнос, штраф, пени.

Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова, клиент – 1) лицо или учреждение, пользующиеся услугами адвоката, нотариуса, банка и т. п. (Клиенты сберкассы); 2) постоянный покупатель, заказчик, посетитель (Клиент всегда прав).