Слова грамота и грамматика пишутся по-разному, потому что пришли в русский язык в разное время и разными путями. Грамота – это очень старое заимствование из греческого языка. В греческом было слово gramma, означавшее «письменный знак», «буква». У этого слова была форма множественного числа grammata – то есть «буквы», «письмо». Вот это форма и стала нашей грамотой: мы немного изменили греческое слово на свой лад. А слово грамматика пришло к нам намного позже, в XVIII веке, из латинского языка. Оно тоже, конечно же, восходит к греческим словам grammata, grammatike, но в латинском языке сохранились две буквы «м».
Запятая не ставится, если "не плача" - обстоятельство образа действия, утратившее глагольное значение (скажи каким образом - не плача, без слез).
Выражение могло возникнуть на базе фольклорных песен. По образности это экспрессивное преуменьшение, основанное на невозможности кошачьего «плача». Коты не проливают слез, да еще в таком количестве, которое можно было бы измерить, отсюда значение фразеологизма: 'очень мало, крайне недостаточно'.
Этимологическое гнездо — это совокупность слов, происходящих из одного корня в системе одного языка. Этимологическое гнездо называют также историческим корневым гнездом. Однако корневым гнездом могут называть и совокупность слов, объединенных общим корнем с точки зрения синхронного языкового среза.
Возможны оба варианта, выбирать нужно по смыслу.
Запятая не нужна: сравнительный оборот здесь играет роль обстоятельства образа действия (сравним: звучит бредово).
Сложные существительные с первым компонентом пол- (полчаса, полдела, полведра, полдюжины, полпути) имеют ряд особенностей в словоизменении и родовой принадлежности... Во всех косвенных падежах, кроме вин. п., в названных сложных словах компонент пол- может заменяться компонентом полу-: до полугода, из полуведра, меньше полуминуты, получасом раньше. Наиболее частотны такие формы в род. п. Наличие компонента полу- характеризует преимущественно те сложные слова, вторым компонентом которых является сущ. муж. и сред. р.
