Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Постановка определения после определяемого существительного – разновидность инверсии. Инверсия – это стилистический прием, состоящий в такой перестановке членов предложения, которая нарушает их обычное (стилистически нейтральное) расположение. См.: Культура русской речи: Энциклопедический словарь-справочник. М., 2003.
Оба варианта возможны. Слова "такой-то" пишутся строчными буквами.
Если определение (обычно обособленное) стоит после счетного оборота с числительными два, три, четыре, то чаще оно ставится в форме именительного падежа множественного числа: два человека, вышедшие из нее...
Верно: было представлено 50 работ, имевших; были представлены две работы, имевшие... Причастие стоит в том же падеже, что и существительное.
Верен второй вариант.
Правильно: 7-ступенчатая трансмиссия.
См. в «Письмовнике».
1. Оба варианта возможны. 2. Правильно с предлогом В.
Лучше: ...ответственных за делопроизводство.