Сочетание в начальной школе определяет конкретное время действия, задаёт его хронологические границы. Это способствует актуализации глагольных признаков в слове изучаемые и не позволяет говорить о переходе причастия в прилагательное. Тем самым раздельное написание с не в данном случае следует признать правомерным.

Запятая не требуется.

При обратном порядке слов при подлежащем — количественно-именном сочетании предпочтительна форма единственного числа сказуемого: С неба посыпалось пять-шесть мандаринов.

Заметим, что применительно к таким крупным (не сыпучим) объектам, как мандарины, глагол сыпаться (посыпаться) будет уместен, если мандаринов было много (сравним одно из значений этого глагола — «обрушиваться во множестве»), а пять-шесть — это едва ли много, поэтому лучше использовать другой глагол: С неба упало пять-шесть мандаринов.

Рекомендуемый вариант:

В гимне Российской Федерации причудливым образом переплетены политические идеологии:
- социализма, с его опорой на равенство людей и народов («Широкий простор для мечты и для жизни» и «Братских народов союз вековой»),
- либерализма, с его опорой на свободу («Славься, Отечество наше свободное»),
- консерватизма, с его опорой на традиции («Могучая воля, великая слава», «Предками данная мудрость народная»),
— и религиозная идеология «священности» и «хранимости Богом». Все они в совокупности связывают между собой личность и общество в концепции служения Родине, когда «нам силу даёт наша верность Отчизне».

Такая постановка знаков не противоречит правилам, но с точки зрения смысла она неудачна. Логичнее будет объединить первую и вторую части в перечислительную конструкцию, так как в обеих речь идет о физическом состоянии субъекта, названного словом другие, а третью отделить двоеточием как сообщение о причине этого состояния: У других сил прыгать не было, болели колени и спина: они ходили на силовую.

Склонение фамилии не отличается от склонения нарицательного существительного: Красота, Красоты, Красоте, Красоту, Красотой, о Красоте.

Варианты сочетаний корректны. Выбор каждого из них определяется смысловыми акцентами текста и авторским замыслом. Компонент у детей претендует на то, чтобы очертить общие границы обсуждаемой ситуации или положения дел. Компонент детей уместен тогда, когда в центре обсуждения не сами дети, а детские умения и навыки. Как представляется, в некоторых случаях варианты взаимозаменяемы без ущерба для содержания текста.

Интеллектуальные агенты в грамматическом отношении подобны слову порталы: создавать интеллектуальные агенты и порталы. Склонение неодушевленных существительных мужского рода можно проверить с помощью слов с ударными окончаниями, например стол, лист (бумажный), куст.

Лучше так: из объявления (постов / публикаций) в сообществе...

Эти наречия пишутся с двумя буквами н: Управление осуществляется как централизованно, так и децентрализованно.