После второго из однородных обстоятельств, соединенных союзом не только... но и, запятая не нужна: Уникальные компоненты связывают токсичные вещества не только в желудке, но и в крови и выводят их естественным путем.

Верно: ...он умеет делать ценные, по-настоящему полезные вещи. Это можно рассматривать как предложение с однородными определениями либо с пояснительным определением ('ценные, а именно по-настоящему полезные'). В обоих случаях вторая запятая не нужна.

Глагольное управление: прозвать кого-что кем-чем. В названии «Врата ада» нет оснований для написания второго слова с прописной буквы. Правильно:  Неудивительно, что местные жители прозвали это место «Дверью в преисподнюю» и «Вратами ада».

Предложение составлено правильно. Т. к. вторая его часть содержит прямой вопрос, перед ней ставится двоеточие, а в конце предложения – вопросительный знак: Сегодня утром я проснулся с мыслью: что же происходит на улице?

Фамилия Пурей склоняется, если принадлежит мужчине. Мужские фамилии, которые на письме кончаются буквой й, склоняются как существительные второго склонения мужского рода, т. е. имеют в творительном падеже окончание -ем: Пуреем, Хемингуэем, Гайдаем.   

Дефисное написание крем-чиз корректно, однако следут отметить, что это слово еще на зафиксировано в нормативных словарях современного русского литературного языка. При его склонении изменяется только вторая часть: крем-чиза, крем-чизу и т. п. 

В таких случаях необходимо тире с пробелами при любом количестве слов в названиях сторон. Это тире в функции соединения: саммит «Россия — ЕС», конференция «Китай — Центральная Азия».

Здесь вводное сочетание находится не в начале и не в конце обособленного оборота (сравним без него: спасибо за доклад), поэтому выделяется запятыми с двух сторон. P. S. А почему умный в кавычках?

Это нормальное для русского языка выражение. Союз чтобы может присоединять придаточную часть сложноподчинённого предложения, в которой раскрывается содержание просьбы, приказа и т. д., обозначенных глаголом (в данном случае проверьте) в главной части.