Корректно: Я ищу работу, где мог бы проявить себя как менеджер и исследователь одновременно.

Вы совершенно правы, такая пунктуация некорректна.

Кроме функций междометия, слово ну может выполнять и функции частицы, имеющей множество значений. Частицы не выделяются запятыми: Ну я не знаю. Для передачи прерывистого характера речи используется многоточие: Он... ну не сразу понял, о чём речь; Это было... ну неожиданно.

Возможны варианты: грязная дюжина и «грязная дюжина».

Фраза корректна. Мы с Петей - это я и Петя.

Часть речи - это дополнение.

Этот пример не подходит под указанное правило по формальному признаку: отсутствие слов типа так или вот свидетельствует о том, что перед нами классическая конструкция с прямой речью, а не характеристика прямой речи. См. также ответ на вопрос № 324935.

Что касается кавычек, то их отсутствие в особых случаях использования прямой речи фиксируется справочниками. Помимо упомянутого примера из справочника под ред. В. В. Лопатина, можно привести цитату из справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: «В газетных текстах кавычки при прямой речи нередко опускают: Президент Франции сказал: Обмен мнениями был полезен; Почему же это происходит? — спрашивает газета». В таких случаях передается скорее смысл высказываний, что позволяет опустить кавычки. В Вашем же случае важна форма (какое именно выражение использовали на работе), поэтому кавычки нужны: «Исключительно добросовестный человек», — говорили о нем на работе.

И ремарки, и так называемая авторская речь — это высказывания автора, сопровождающие прямую речь персонажа, так что имеет смысл говорить только о соотношении ремарок и прямой речи, авторской и прямой речи, но не о соотношении ремарок и авторской речи. В параграфе 158 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина приводится пример авторской ремарки внутри прямой речи: Я не понимаю теперь: кто чужой в этом городе, — мы или они? (Он кивнул на балкон особняка.) Нас не хотят больше слушать (А. Т.).

Обращение – слово многозначное; по-видимому, именно это Вас и смутило. Первое значение данного существительного – действие по глаголу обратиться – обращаться; в этом смысле Ваше заявление, конечно же, является обращением к начальнику. И указывает на лицо, к которому Вы обращаетесь, местоимение Вас.

Однако слово Вас не является обращением в лингвистическом смысле этого слова. В грамматике обращение (лингвистический термин) – это слово или словосочетание, называющее лицо (реже – предмет), к которому обращена речь. Обращение грамматически не связано с предложением, не является членом предложения, может занимать в предложении любое место. Обращение выражается существительным (или любой частью речи в функции существительного) в форме именительного падежа. Именно такое обращение выделяется запятыми (или после него ставится восклицательный знак). Вот примеры: Не вешать нос, гардемарины! (Ряшенцев). Автобус новенький, спеши, спеши (Окуджава). Здравствуйте, Иван Петрович!

В рассматриваемом же предложении местоимение Вы стоит в форме винительного падежа, является членом предложения – дополнением (прошу кого? – Вас) и не может быть переставлено в другое место предложения (невозможно:  прошу предоставить мне Вас отпуск, но ср.: прошу предоставить мне, Иван Петрович, отпуск). Местоимение Вас не является обращением и не требует постановки запятых. А пишется оно с прописной буквы согласно правилу: местоимение Вы пишется с прописной при вежливом обращении (действии!) к одному лицу.

Ошибки нет, хотя, конечно, гражданин - это не звание.