Западноевропейские и южноамериканские фамилии, включающие в свой состав служебные элементы (артикли, предлоги, частицы) ван, да, дас, де, делла, дель, дер, ды, дос, дю, ла, ле, фон и т. п., пишутся раздельно: Барклай де Толли. В XIX веке было распространено дефисное написание Барклай-де-Толли, оно до сих пор встречается в практике письма и некоторых словарях, но современной орфографической норме не соответствует.

Действительно, деепричатный оборот употреблен неверно, предложение следует перестроить — например, так, как Вы предлагаете.

В русском языке действие, обозначаемое деепричастием (деепричастным оборотом), относится, как правило, к подлежащему данного предложения. В конце XVIII и XIX веке под влиянием французского языка деепричастные обороты нередко употреблялись в отрыве от подлежащего. На некорректность такого употребления указывал еще Ломоносов, однако оно продержалось до начала XX века.

В современном литературном языке возможны оба варианта. Они различаются своей исторической судьбой. Сочетания размышлять о известны как минимум с XIV века, что придает им оттенок стилистического благородства и строгой книжности. Сочетания с предлогом над впервые фиксируются только в XIX веке, но до 1920-х гг. примеры такого употребления редки. В современном языке сочетания размышлять о примерно в четыре раза частотнее сочетаний размышлять над.

Ответить на вопрос, почему после того или иного слова требуется та или иная падежная или предложно-падежная форма, можно далеко не всегда. Универсальный ответ: такова литературная норма, так сложилось в языке. Но, обратившись к этимологическим словарям, мы можем узнать, как было раньше, когда изменилась литературная норма (если она менялась), предположить, почему сложилось именно так. А заодно развеять несколько мифов, связанных со словами спасибо и благодарю. Таких мифов немало: и что спаси бог превратилось в спасибо чуть ли не в XX веке, после Октябрьской революции (когда «запретили бога»), и что превращение спаси бог в спасибо – следствие языковой лени, профанации сакрального смысла и т. п.

Начнем со слова благодарю. Прежде всего необходимо отметить, что слово благодарить не было образовано в живой русской речи посредством сложения слов благо и дарить (утверждение «когда-то люди говорили друг другу: "благо дарю вам", а потом это превратилось в благодарю» неверно).  В. В. Виноградов указывает, что благодарить – калькированный по греческому образцу славянизм (ср.: благоговеть, благоволить и др.), другими словами, это слово книжное, искусственное (калька – это перевод по частям иноязычного слова или оборота речи). Управление благодарить кого-либо могло возникнуть под влиянием управления дарить кого-либо. Глагол дарить управляет дательным падежом (дарить кому) в значении 'давать в качестве подарка'; в значении же 'одаривать, удостаивать какими-либо знаками внимания' дарить управляет винительным падежом (дарить кого) – это устаревшая, книжная форма: Веселая девушка ласково улыбалась ему, иногда дарила его парой незначительных слов (М. Горький).

Уже в XVIII веке наблюдались колебания в управлении благодарить кого / благодарить кому. В «Словаре русского языка» XVIII века (Выпуск 2. Л.: Наука, 1985) находим примеры: Кто тебя наказует, тому благодари и почитаи его за такова, которои тебе всякого добра желает (Юности честное зерцало, 1717). Наемной лакей всегда благодарил меня, когда я давал ему в день полтину (Н. Карамзин, Письма русского путешественника, 1791–1792). Также: [Прямиков]: Чувствительно тебя благодарю, мой друг! (В. Капнист, Ябеда, 1794–1798). Таким образом, к концу XVIII века устоялся вариант благодарить кого-либо.

Что касается слова спасибо, то эта самая распространенная в живой речи форма выражения благодарности, действительно, образована от сочетания спаси богъ: после падения редуцированного ъ согласный г оказался в слабой позиции и утратился, т. е. превращение спаси бог в спасибо обусловлено исключительно языковыми причинами. Форма спасибо известна по крайней мере с конца XVI века. Интересно, что даже при более позднем употреблении в прежней форме спаси бог это сочетание уже управляло дательным (!) падежом. В «Житии» Аввакума (XVII в.): Да и мальчику тому спаси бог, которой... по книгу... ходил». (См.: Черных П. Я. Историко-этимологический словарь современного русского языка. – 3-е изд., стереотип. М.: Русский язык, 1999). Дательный падеж после слова спасибо объяснить легко: основное значение дательного падежа в русском языке – дательный адресата, указывающий на объект, к которому направлено действие. Говоря спасибо, мы обращаемся со словами благодарности к какому-либо человеку, адресуем слова благодарности кому-либо.

Современная норма: по окончании. В XIX веке форма подобных оборотов была неустойчива. Ср. данные «Словаря языка Пушкина»: по окончанию (по окончании): По окончанию трудов, Петр вынул карманную книжку, дабы справиться, всё ли им предполагаемое на сей день исполнено. АП 11.38. По окончанию трагедии она была вызвана криками исступления Ж2 11.20. По окончании же войны Суворов получил повеление немедленно ехать в Москву ИП 76.8. 

Корректно раздельное написание. Оно соответствует правилу: сочетания с постпозитивным неизменяемым определением, выраженным существительным или прилагательным, пишутся раздельно, напр.: платье мини, юбка макси, кофе глясе, конфеты ассорти, витамины драже, котлеты де-воляй, куры гриль, овощи гриль, суп харчо, стиль либерти, бумага верже, нитки мулине, купальник бикини, шляпа сомбреро, цирк шапито, ресторан бистро, дети индиго, стиль кантри, шоу латино, язык хинди, время пик, час икс, идея фикс.

Правильно: согласно приказу, договору, распоряжению, штатному расписанию и т. д. Предлог согласно в современном русском языке требует дательного падежа, правильно: согласно чему, не чего. Уже в XIX веке конструкция согласно чего, то есть с родительным падежом, расценивалась как характерная примета официально-деловой, канцелярской речи. А в современном русском языке она не является нормативной и для официально-делового стиля. Сейчас правильно только согласно чему, то есть с дательным падежом.

При синонимичности этих конструкций они различаются стилистически: слова на территории будут уместны в тексте официально-делового стиля (на территории Самарской области проживают...). В живой речи лучше выбрать вариант с предлогом в (живу в Самарской области).

Кроме того, оборот на территории Самарской области может иметь значение «на той территории, где теперь располагается Самарская область», напр.: На территории Самарской области еще в каменном веке жили люди (вряд ли здесь возможно: в Самарской области).

Слова мандарин 'фрукт' и мандарин 'китайский сановник' связаны друг с другом. Как указывают авторы этимологических словарей, значение мандарин 'китайский сановник' первично; восходит это слово к древнему индоевропейскому корню. А фрукт мандарин первоначально назывался «апельсин мандаринский» и, по всей видимости, получил такое название по высокому мандаринскому сану (возможно, этот вкусный, благородный, нарядный плод сравнивался с богатым, знатным человеком, мандарином). Интересно отметить, что в XIX веке у нас мандарины обычно называли корольками.