Правила таковы. После гласных перед -ть пишутся буквы и или я (но не буква е). Буква и пишется после гласного о, например: стоить, строить, успокоить. После гласных а, е, у пишется буква я: таять, лаять; веять, надеяться, сеять; чуять. Исключения – глаголы драить и клеить, в которых после букв а и е пишется и.

Логично предположить, что они являются неоднородными членами предложения (хотя и разделяются запятыми).

Слово непосредственно не нужно выделять запятыми. Слово вузы пишется строчными буквами. Тире перед скобками лишнее.

Словари, адресованные работникам эфира (в которых дается строгая литературная норма), такие как словарь «Русское словесное ударение» М. В. Зарвы, «Словарь образцового русского ударения» М. А. Штудинера, разводят эти слова по значениям: притупленный 'несколько затупленный' (притупленный топор) и притуплённый 'утративший остроту, силу' (притуплённое внимание). В других словарях эти варианты даны как равноправные во всех значениях.

Окончательное решение в подобных случаях правильнее всего оставить за автором текста. Многое зависит от типа текста: например, название не будет склоняться в деловом документе, в официальном сообщении, в туристическом справочнике – везде, где надо передать точную информацию. Если это текст художественный, предпочтительным будет склонение. В любом случае ни склоняемый, ни несклоняемый вариант ошибкой не будет.

Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

Запятая после отца не требуется. Сочетание во время часов работы лексически избыточно: нужно оставить либо время, либо часы. Вероятно, имеются в виду не платные, а плотные шторы. Корректно: Во время работы отца комната была отгорожена от остальных членов семьи плотными шторами. В часы работы отца комната была отгорожена от остальных членов семьи плотными шторами.

Строго говоря, приведенные Вами сочетания не являются предложениями: в них нет грамматической основы. Первое из них можно достроить до предложения, например, таким образом: Как всегда грустный, в наушниках, с отсутствующим взглядом, он прошел мимо (вводное сочетание как всегда относится к обособленному определению и выделяется вместе с ним). Во втором случае верно писать много чего.

Даже употребление творительного падежа не делает фразу грамматически безупречной. Увы, если в русском языке два глагола управляют разными падежами, то грамотно построить фразу можно, лишь прибегнув к повтору управляемого слова или к использованию местоимения. Но если вопрос ставится именно таким образом - какой падеж использовать, не перестраивая фразу, - то предпочтение следует отдать творительному падежу.