Правильно: 5-балльное.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
В подобных рубриках и сообществах обычно публикуются разговоры людей, подслушанные в том или ином месте, например в МГУ. Поэтому верно: подслушано в МГУ.
Корректно: По идее, должны подойти, насчет длины не уверен.
Запятая уместна. Слова по существу могут выделяться как вводные в знач. 'в сущности говоря'.
Верно раздельное написание: социально опасный.
Оборот охваченный интригой обособляется только в том случае, если он имеет добавочное обстоятельственное значение: повторяет, охваченный интригой, мужчина (= повторяет, будучи охвачен интригой). Если таких дополнительных оттенков значения нет, запятые не нужны: повторяет охваченный интригой мужчина.
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".
