Армагеддон  пишется с прописной буквы, если употребляется в значении 'место последней, решающей битвы на исходе времен (в христианских представлениях); сама эта битва'. Написание со строчной возможно в переносном значении 'о великом сражении, решающей битве'.

От глагола махать образуются две формы – маша и махая. С нормативной точки зрения они равноправны (в отличие от личных форм настоящего времени, где машу, машет – предпочтительные формы, а махаю, махает – разговорные).

Простое лексическое решение — использовать дополнительное (и не лишнее) слово в сочетании с наименованием компании или провайдера, например: представители, руководство и т. п. Фраза станет точнее и понятнее, а грамматическая дилемма решится сама собой.

Более правильный вариант: Арбитражный суд города Москвы в составе судьи Ивановой И. И. в порядке взаимозаменяемости с судьёй Петровой П. П., рассмотрев заявление... Иначе получается, что судья Петрова П. П. взаимозаменяема сама с собой.

В двойных фамилиях первая часть склоняется, если она сама по себе употребляется как фамилия, а это как раз наш случай. Поэтому следует склонять обе части фамилии, например: Михаила Немчинова-Гринемайера, Михаилу Немчинову-Гринемайеру и т. д.

Если это сочетание осмысляется именно как имя персонажа, а не как описательный оборот, то возможны два варианта: Крысиный король и Крысиный Король. Ср.: Маленький принц, Зеленый рыцарь и Прекрасная Дама, Белый Кролик. Выбор за автором. 

В русских двойных фамилиях первая часть склоняется, если она сама по себе употребляется как фамилия, например: песни Соловьева-Седого, картины Соколова-Скаля. Если же первая часть не образует фамилии, то она не склоняется, например: исследования Грум-Гржимайло, в роли Сквозник-Дмухановского, скульптура Демут-Малиновского. 

Женскую фамилию Луняка следует склонять.

Знак в обоих случаях ставится между частями бессоюзного сложного предложения. И в обоих случаях предпочтительна постановка двоеточия - "логического" знака (конечно, если только во втором случае слово "дети" не является обращением, а сама фраза - не призыв к детям быть внимательными).