Поскольку в данном случае мастер — это наименование категории, то у слова мастер-тренер склоняется только вторая часть:
Именительный падеж: мастер-тренер.
Родительный падеж: мастер-тренера.
Дательный падеж: мастер-тренеру.
Винительный падеж: мастер-тренера.
Творительный падеж: мастер-тренером.
Предложный падеж: о мастер-тренере.
Да, склоняется. В русском языке мужские и женские фамилии на -а, -я неударное, как правило, склоняются (песни Булата Окуджавы, прогнозы Павла Глобы, фильмы Анджея Вайды).
Современная норма: по-рабоче-крестьянски. Трехкомпонентные слова, образованные от слов, которые пишутся через дефис, в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина рекомендовано писать через два дефиса. См. ответ на вопрос № 325219.
Словообразовательная цепочка, демонстрирующая этапы образования прилагательного позапрошлый, выглядит следующим образом: поза-прошлый ← прош-л-ый (в знач. ‘только что прошедший, о временных отрезках’) ← про-ш-ла ← ш-ла. Приставка поза- имеет значение непосредственного временно́го предшествования: поза-прошлый ← прош-л-ый. Ср.: поза-вчерашний ← вчерашний. Суффикс -л- имеет значение ‘находящийся в состоянии, возникшем в результате процесса, названного производящим словом’: прош-л-ый ← про-ш-ла. Ср.: уста-л-ый ← уста-ла, спе-л-ый ← спе-ла. Основы прилагательных этого словообразовательного типа совпадают с основами форм жен. рода ед. числа прош. времени производящих глаголов. Приставка про- имеет значение ‘довести до результата действие, названное производящим глаголом’: про-ш-ла ← ш-ла. Ср.: про-звучать ← звучать.
Морфемный разбор: поза-про-ш-л-ый.
«Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой, Т. Ф. Ефремовой приводит такой состав слова: пред / при / ним / a / тель / Ø.
Употребление этого слова некорректно.
Варианты различаются по значению. В первом случае выделяется словосочетание главврач больницы, во втором – кадры больницы. Выберите нужный вариант в зависимости от требуемого значения. Возможно, слово больница следует убрать.
