В сочетании с глаголом не иметь существительное употребляется в форме родительного падежа: не имеет отношения.
Поскольку продвинуться можно и в другие стороны (например, вправо и влево), сочетание продвинуться вперед корректно.
Эти предложения почти равнозначны. "Почти" - поскольку первое может иметь продолжение: "...а повзрослев - разлюбил".
Да, это условное название, кавычки нужны: карта «Тройка», записать билет на «Тройку».
Устойчивое сочетание: расхожее мнение. Следует, однако, иметь в виду, что слово расхожий маркируется словарями как разговорное.
Так говорить, разумеется, можно, но следует иметь в виду, что уточнение лично подчеркивает особую роль говорящего.
Это сочетание возможно во всех тех случаях, когда оно будет иметь смысл. Нам трудно придумать такую ситуацию.
Трудно судить о корректности фразы без контекста. Если от него абстрагироваться - да, такое сочетание может иметь место.
