1. Между частями сложносочиненного предложения (перед и) можно поставить или запятую, или тире.

Основание для использования тире таково: если во второй части сложносочиненного предложения содержится неожиданное присоединение, то между частями перед сочинительным союзом вместо запятой ставится тире.

2. Запятая ставится между частями сложного предложения (основа первой части: посмотрите; основа второй: вы заметите).

1. Родители их чаще всего алкоголики и тунеядцы, а иногда и преступники.
2. Я посмотрела на кандидатов и тут же поняла, кто им нужен.
3. Опыт едва ли можно назвать бесполезным, а тем более неудачным.
4. Так бы и оставалось и через год, и через два.
5. Контроль за исполнением предписаний юридическими лицами.

Фраза "болельщик показал жест" не содержит ошибки, а вот в заголовке, Вы правы, можно усмотреть избыточность.

Нет, это не ошибка, это закономерность письма, которая пока недостаточно хорошо изучена и описана. Сейчас можно сказать, что через дефис пишутся собственные названия с частями восточно-, западно- и под. Посмотрите список слов в «Академосе» и Вы увидите эту закономерность. Благодарим Вас за вопрос, название операции будет добавлено в академический орфографический ресурс при следующем обновлении базы.

Оба варианта пунктуации корректны. В этом бессоюзном сложном предложении можно усмотреть противительные отношения, выражаемые с помощью тире, и отношения причины, выражаемые двоеточием. 

Если речь идет о местоположении стрелы ("посмотрел в другую сторону и увидел"), то верно: И тут с другой стороны я замечаю еще одну стрелу.

Дело в том, что о правильном и неправильном написании можно говорить применительно к словам литературного языка (правила правописания регламентируют написание именно таких слов). Обсценная лексика в состав русского литературного языка не входит. Наверняка при написании работы Вы используете специализированные словари обсценной лексики (без них работа на такую тему вряд ли возможна) – посмотрите, как там пишется это слово, и придерживайтесь такого написания (со ссылкой на словарь).

Верно раздельное написание: ...подобная конференция будет не последней. В этом предложении выражается отрицание; едва ли можно представить себе непоследнюю конференцию как особый тип конференций и усмотреть здесь утверждение.

Сочетание «разумный взгляд» вполне корректно. См., например: Последний прилег было, одетый, отдохнуть и тотчас забылся, стал бредить и с совершенно как будто разумным взглядом говорил непонятные фразы... [А. В. Амфитеатров. Жар-цвет (1895)]; То была маленькая девочка с не по-младенчески разумным взглядом [Э. Г. Казакевич. При свете дня (1960)]; И вдруг она открыла глаза и посмотрела на нас совершенно ясным, разумным взглядом[Борис Ефимов. Десять десятилетий (2000)] и т. п.

В данном случае это является местоимением и выполняет функцию прямого дополнения, зависящего от глагола объясняю (объясняю что? это). Ср. при другом порядке слов: Сердце моё здорово, я объясняю это совершенным воздержанием от табака и алкоголя или Сердце моё здорово, я это объясняю совершенным воздержанием от табака и алкоголя. Частица не зависит ни от какого другого члена в предложении, к ней невозможно задать вопрос, ср.: Посмотрите на фотографию, это я объясняю урок.